v1 · padrão canônico

Workshop U1 — Integração Avançada

Workshop de integração: problemas desafiadores combinando integração por partes, substituição trigonométrica, frações parciais, funções hiperbólicas e integrais impróprias.

Usado em: Cálculo 2 — Unidade 1 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\int f\,dg = fg - \int g\,df \quad\Longleftrightarrow\quad \int u\,dv = uv - \int v\,du

O workshop consolida todas as técnicas da Unidade 1. Cada problema combina pelo menos duas técnicas e exige reconhecimento de padrão antes de integrar.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Resumo das técnicas da Unidade 1

Técnica	Quando usar	Forma-chave
Substituição simples	$f(g(x))g'(x)$ presente	$u = g(x)$
Integração por partes	Produto de dois tipos diferentes (LIATE)	$uv - \int v\,du$
Sub. trig. $\sin$	$\sqrt{a^2-x^2}$	$x = a\sin\theta$
Sub. trig. $\tan$	$\sqrt{a^2+x^2}$ ou $a^2+x^2$	$x = a\tan\theta$
Sub. trig. $\sec$	$\sqrt{x^2-a^2}$	$x = a\sec\theta$
Frações parciais	$P(x)/Q(x)$ , $\deg P < \deg Q$	Decomposição em $A/(x-r)$
Hiperbólica	$\sqrt{x^2\pm a^2}$ , eq. diferencial	$x = a\sinh t$ ou $a\cosh t$
Integral imprópria	Limite infinito ou descontinuidade	Limite de integral própria

Fórmulas de redução

$\int\sin^n x\,dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\,dx$ $\int\sec^n x\,dx = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec^{n-2}x\,dx$ $\int x^n e^{ax}\,dx = \frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}\,dx$

Problemas do Workshop

Exemplo— 1· W1 — Potências de secante e tangente

Calcule $\displaystyle\int\sec^5 x\,dx$ .

Use a fórmula de redução com $n=5$ : $\int\sec^5 x\,dx = \frac{\sec^3 x\tan x}{4}+\frac{3}{4}\int\sec^3 x\,dx.$ Aplique novamente com $n=3$ : $\int\sec^3 x\,dx = \frac{\sec x\tan x}{2}+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C.$ Logo: $\int\sec^5 x\,dx = \frac{\sec^3 x\tan x}{4}+\frac{3\sec x\tan x}{8}+\frac{3}{8}\ln|\sec x+\tan x|+C.$

Exemplo— 2· W2 — Sub. trigonométrica + frações parciais

Calcule $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-4}}$ para $x > 2$ .

Com $x = 2\sec\theta$ , $dx = 2\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ , $\sqrt{x^2-4} = 2\tan\theta$ : $\int\frac{2\sec\theta\tan\theta\,d\theta}{4\sec^2\theta\cdot 2\tan\theta} = \frac{1}{4}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta}{4}+C.$

Do triângulo: $\sin\theta = \sqrt{x^2-4}/x$ . Logo $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-4}} = \frac{\sqrt{x^2-4}}{4x}+C$ .

Para continuar

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §7.1–7.9 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §6.1–7.2 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 1, §12.12–12.22 — Wiley, 2ª ed.
Active Calculus — Boelkins et al., §5.4–5.8 — CC-BY-SA (activecalculus.org)
OpenStax — Calculus II, §3.1–3.7 — CC-BY (openstax.org)
REAMAT — Cálculo Numérico, §6 — UFRGS (reamat.ufrgs.br)
Demidovich, B. — Problemas e Exercícios de Análise Matemática, §4 — Mir

Workshop U1 — Integração Avançada

Resumo das técnicas da Unidade 1

Fórmulas de redução

Problemas do Workshop

Exercícios do Workshop

Série A — Técnicas puras (aquecimento)

Série B — Problemas combinados

Série C — Aplicações interdisciplinares

Para continuar