Lição 11 — Sequências

Definições e teoremas fundamentais

Definição formal de limite

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = L$ significa: para todo $\varepsilon > 0$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $n > N$ implica $|a_n - L| < \varepsilon$.

Se tal $L$ existe (e é finito), dizemos que $\{a_n\}$ converge; caso contrário, diverge.

Propriedades algébricas dos limites

Se $a_n \to L$ e $b_n \to M$, então:

• $a_n \pm b_n \to L \pm M$
• $a_n \cdot b_n \to LM$
• $a_n/b_n \to L/M$ (desde que $M \neq 0$)
• $|a_n| \to |L|$

Teorema do Sanduíche (Squeeze)

Se $b_n \leq a_n \leq c_n$ e $b_n \to L$ e $c_n \to L$, então $a_n \to L$.

Sequências monótonas

• Crescente: $a_{n+1} \geq a_n$ para todo $n$.
• Decrescente: $a_{n+1} \leq a_n$ para todo $n$.
• Limitada: existe $M$ com $|a_n| \leq M$ para todo $n$.

Teorema da Sequência Monótona: toda sequência monótona e limitada converge.

Limites importantes

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p} = 0 \; (p>0), \qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1, \qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$ $\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{c^n} = 0 \; (c>1), \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{c^n}{n!} = 0, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} = 0$

Relação com limites de funções

Se $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x) = L$ e $a_n = f(n)$, então $a_n \to L$. (Permite usar L'Hôpital para sequências.)