Lição 12 — Séries: Convergência

Definições e séries canônicas

Definição de convergência

A série $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge para $S$ se $\displaystyle\lim_{N\to\infty}S_N = S$ onde $S_N = \displaystyle\sum_{n=1}^N a_n$.

Se o limite não existe ou é $\pm\infty$, a série diverge.

Série geométrica

$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1. \qquad \text{Diverge se } |r| \geq 1.$

Prova: $S_N = a(1-r^{N+1})/(1-r) \xrightarrow{N\to\infty} a/(1-r)$ quando $|r| < 1$.

Série telescópica

Se $a_n = b_n - b_{n+1}$: $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty(b_n-b_{n+1}) = b_1 - \lim_{n\to\infty}b_n.$

Série harmônica

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} \text{ diverge.}$

Prova por agrupamento (Oresme): $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2}$; $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2}$; etc.

Teste do termo geral (condição necessária)

Se $\displaystyle\sum a_n$ converge, então $a_n \to 0$.

Contrapositivo: se $a_n \not\to 0$, a série diverge.

Cuidado: $a_n \to 0$ é necessário mas não suficiente (série harmônica: $1/n \to 0$ mas diverge).

Propriedades lineares

Se $\displaystyle\sum a_n = A$ e $\displaystyle\sum b_n = B$: $\sum(ca_n + db_n) = cA + dB.$