Lição 13 — Teste da Integral e Séries-p

Teste da integral

Enunciado

Seja $f$ uma função positiva, contínua e decrescente em $[1,\infty)$ com $a_n = f(n)$.

$\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ converge} \iff \int_1^\infty f(x)\,dx \text{ converge.}$

Prova via desigualdade integral: $\int_1^{N+1}f(x)\,dx \leq S_N \leq a_1 + \int_1^N f(x)\,dx$

Estimativa de erro (resto)

Se $S = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge, o resto após $N$ termos satisfaz: $R_N = S - S_N: \quad \int_{N+1}^\infty f(x)\,dx \leq R_N \leq \int_N^\infty f(x)\,dx.$

Série-p

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{converge} & p > 1 \\ \text{diverge} & p \leq 1 \end{cases}$

Prova: $\displaystyle\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ converge iff $p > 1$.

Exemplos:

• $p = 2$: $\displaystyle\sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (converge).
• $p = 1$: $\displaystyle\sum\frac{1}{n}$ (diverge).
• $p = 1/2$: $\displaystyle\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ (diverge).