Lição 14 — Testes de Comparação

Testes de comparação

Teste da comparação direta

Sejam $0 \leq a_n \leq b_n$ para todo $n$ suficientemente grande.

• Se $\displaystyle\sum b_n$ converge, então $\displaystyle\sum a_n$ converge.
• Se $\displaystyle\sum a_n$ diverge, então $\displaystyle\sum b_n$ diverge.

Prova: as somas parciais de $\sum a_n$ são limitadas acima pelas de $\sum b_n$ (caso convergente).

Teste da comparação no limite (LCT)

Sejam $a_n, b_n > 0$. Se $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = L$ com $0 < L < \infty$, então: $\sum a_n \text{ converge} \iff \sum b_n \text{ converge.}$

Casos degenerados:

• $L = 0$: se $\sum b_n$ converge, então $\sum a_n$ converge.
• $L = \infty$: se $\sum b_n$ diverge, então $\sum a_n$ diverge.

Estratégia de escolha da série de referência

1. Identifique o comportamento dominante de $a_n$ para $n$ grande.
2. Escolha $b_n$ da mesma ordem: se $a_n \sim c/n^p$, compare com $\sum 1/n^p$.
3. Use LCT para confirmar.

Exemplos de comportamentos dominantes:

• $a_n = \frac{n^2+1}{n^3+5} \sim \frac{1}{n}$ → compare com $\sum 1/n$ (diverge).
• $a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \sim \frac{1}{n}$ → compare com $\sum 1/n$ (diverge).
• $a_n = \frac{1}{n^2+n} \sim \frac{1}{n^2}$ → compare com $\sum 1/n^2$ (converge).