Lição 15 — Séries Alternadas e Convergência Absoluta

Testes para convergência absoluta e condicional

Teste de Leibniz (séries alternadas)

Se $\{b_n\}$ é positiva, decrescente e $b_n \to 0$, então: $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}b_n = b_1 - b_2 + b_3 - \cdots \quad \text{converge.}$

Estimativa de erro: $|S - S_N| \leq b_{N+1}$.

Prova: somas parciais pares são crescentes e limitadas superiormente; somas ímpares são decrescentes e limitadas inferiormente — convergem para o mesmo limite.

Convergência absoluta e condicional

• $\displaystyle\sum a_n$ converge absolutamente se $\displaystyle\sum|a_n|$ converge.
• Convergência absoluta implica convergência (mas não o contrário).
• $\displaystyle\sum a_n$ converge condicionalmente se converge mas $\displaystyle\sum|a_n|$ diverge.

Exemplo: $\displaystyle\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge condicionalmente ($\sum|a_n| = \sum 1/n$ diverge).

Teste da razão

$L = \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}: \begin{cases} L < 1 &\Rightarrow \text{converge absolutamente} \\ L > 1 &\Rightarrow \text{diverge} \\ L = 1 &\Rightarrow \text{inconclusivo} \end{cases}$

Melhor para: fatoriais, potências exponenciais.

Teste da raiz (Cauchy)

$L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}: \begin{cases} L < 1 &\Rightarrow \text{converge absolutamente} \\ L > 1 &\Rightarrow \text{diverge} \\ L = 1 &\Rightarrow \text{inconclusivo} \end{cases}$

Melhor para: termos da forma $(b_n)^n$.

Teorema de Riemann (rearranjo)

Uma série condicionalmente convergente pode ser rearranjada para convergir para qualquer valor real (ou divergir).