Lição 16 — Séries de Potências

Definições e teoremas centrais

Definição

Uma série de potências centrada em $a$ é: $\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$

Raio de convergência

Fórmula de Hadamard: $R = \dfrac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}$ (convencione $R=0$ se $\limsup=\infty$; $R=\infty$ se $\limsup=0$).

Fórmula da razão (quando o limite existe): $R = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{|c_n|}{|c_{n+1}|}$.

Teorema: a série converge absolutamente para $|x-a| < R$ e diverge para $|x-a| > R$. Nas extremidades $x = a \pm R$, o comportamento deve ser testado individualmente.

Operações com séries de potências

Derivação term-a-term (para $|x-a| < R$): $f'(x) = \sum_{n=1}^\infty nc_n(x-a)^{n-1}$

Integração term-a-term (para $|x-a| < R$): $\int f(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^\infty\frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$

O raio de convergência é preservado em ambas as operações.

Séries de potências conhecidas

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| < 1$ $e^x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \quad |x| < \infty$ $\sin x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \cos x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1$ $\arctan x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| \leq 1$