Lição 17 — Séries de Taylor e Maclaurin

Séries de Taylor e resto

Série de Taylor

Se $f$ tem derivadas de todas as ordens em $x = a$: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

Quando $a = 0$: série de Maclaurin.

Resto de Taylor (forma de Lagrange)

O polinômio de Taylor de grau $N$ é $T_N(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^N\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$.

O erro é $R_N(x) = f(x) - T_N(x)$. Forma de Lagrange: $R_N(x) = \frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}(x-a)^{N+1}$ para algum $c$ entre $a$ e $x$.

Estimativa: $|R_N(x)| \leq \dfrac{M}{(N+1)!}|x-a|^{N+1}$ onde $M = \max|f^{(N+1)}|$ no intervalo.

Séries de Maclaurin fundamentais

$e^x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \quad \text{todo }x$ $\sin x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \text{todo }x$ $\cos x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \quad \text{todo }x$ $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1$ $(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}x^n, \quad |x| < 1$