Lição 18 — Séries de Fourier

Definição e propriedades

Coeficientes de Fourier

Para $f$ periódica com período $2L$, integrável em $[-L,L]$:

$a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\,dx, \quad a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx, \quad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$

Teorema de convergência de Dirichlet

Se $f$ é periódica de período $2L$, seccionalmente suave (contínua por partes com derivada contínua por partes), então a série de Fourier converge:

• Para $f(x)$ onde $f$ é contínua.
• Para $\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$ nos pontos de descontinuidade.

Ortogonalidade

$\int_{-L}^L\cos\frac{m\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx = L\delta_{mn}, \quad \int_{-L}^L\sin\frac{m\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx = L\delta_{mn}$ $\int_{-L}^L\cos\frac{m\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx = 0 \quad \text{para todo } m, n.$

Identidade de Parseval

$\frac{1}{L}\int_{-L}^L|f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)$

Séries em cossenos e senos

• $f$ par: $b_n = 0$; expande apenas em $\cos(n\pi x/L)$.
• $f$ ímpar: $a_n = 0$; expande apenas em $\sin(n\pi x/L)$.