v1 · padrão canônico

Lição 19 — Estratégias para Séries

Guia de decisão para convergência de séries: árvore de escolha de testes, combinação de técnicas, séries de potências para somar séries numéricas.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 2 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\text{Testar }a_n\to 0\;\xrightarrow{\text{falha}}\;\text{div.}\quad\xrightarrow{\text{ok}}\;\begin{cases}\text{razão/raiz: fat./exp.}\\\text{integral: }a_n=f(n)\searrow\\\text{LCT: comport. }n^{-p}\\\text{Leibniz: alternada}\end{cases}

O primeiro passo é sempre verificar o teste do termo geral. Em seguida, a escolha do teste depende da forma de $a_n$ : fatoriais e potências sugerem razão; radicais sugerem raiz; comportamento polinomial sugere comparação.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Tabela de testes e condições de uso

Teste	Condição de aplicação	Conclusão	Quando preferir
Termo geral	Sempre	$a_n\not\to 0 \Rightarrow$ div.	Primeiro passo
Geométrica	$a_n = ar^n$	$\lvert r\rvert<1$ : conv.; $\lvert r\rvert\geq 1$ : div.	Série geométrica pura
Telescópica	$a_n = b_n - b_{n+1}$	Soma $= b_1 - \lim b_n$	Decomposição em parciais
Integral	$a_n = f(n)$ decrescente	Mesmo que $\int_1^\infty f$	$f$ integr. facilmente
Comparação direta	$0\leq a_n\leq b_n$	$\sum b_n<\infty\Rightarrow\sum a_n<\infty$	Desigualdade explícita
LCT	$a_n/b_n\to L\in(0,\infty)$	Mesmo comportamento	Comportamento dominante
Razão	$\lvert a_{n+1}/a_n\rvert\to L$	$L<1$ : c.a.; $L>1$ : div.	Fatoriais, $n^n$ , $x^n$
Raiz	$\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}\to L$	$L<1$ : c.a.; $L>1$ : div.	Potências da forma $(b_n)^n$
Leibniz	$(-1)^n b_n$ , $b_n\searrow 0$	Converge	Série alternada

Soma de séries numéricas por séries de potências

Se $S = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$ e $a_n = f^{(n)}(0)/n!$ para alguma $f$ conhecida, então $S = f(1)$ .

Exemplo: $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1} = \arctan(1) = \pi/4$ .

Derivação de série: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n} = \left.\frac{d}{dx}\sum nx^{n-1}\right|_{x=1/2}$ (com cuidado no ponto de convergência).

Exemplos resolvidos — Reconhecimento de padrão

Example— 1· Ex. 1 — Combinando razão e reconhecimento

Determine a convergência de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}$ .

Razão: $\dfrac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2 4^{n+1}}\cdot\dfrac{(n!)^2 4^n}{(2n)!} = \dfrac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2} = \dfrac{(2n+1)}{2(n+1)} \to 1$ .

Razão inconclusiva. Use LCT com $b_n = 1/\sqrt{n}$ (estimativa de Stirling: $\binom{2n}{n} \sim 4^n/\sqrt{\pi n}$ ):

$a_n = \binom{2n}{n}/4^n \sim 1/\sqrt{\pi n}$ . LCT com $b_n = 1/\sqrt{n}$ : $L = 1/\sqrt{\pi}$ . Como $\sum 1/\sqrt{n}$ diverge, a série diverge.

Example— 2· Ex. 2 — Série de potências para soma numérica

Calcule $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)3^{2n+1}}$ .

Reconheça: $\arctan x = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ .

Dividindo por $x$ : $\dfrac{\arctan x}{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{2n+1}$ .

Em $x = 1/3$ : $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)3^{2n+1}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{\arctan(1/3)}{1/3} = \arctan\frac{1}{3}$ .

To continue

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §11.7 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 3, §9.6–9.8 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 1, §10.23–10.25 — Wiley, 2ª ed.
OpenStax — Calculus II, §5.6 — CC-BY (openstax.org)
Demidovich, B. — Problemas e Exercícios de Análise Matemática, §5.7 — Mir

Lição 19 — Estratégias para Séries

Tabela de testes e condições de uso

Soma de séries numéricas por séries de potências

Exemplos resolvidos — Reconhecimento de padrão

Exercícios do workshop de estratégias

Série A — Reconhecimento rápido

Série B — Soma por séries de potências

Série C — Nível ITA/USP

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