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Workshop U2 — Sequências, Séries e Taylor

Workshop de sequências e séries: problemas desafiadores combinando convergência, séries de potências, Taylor, Fourier e aplicações à engenharia.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 2 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(x),\quad \sum_{n=0}^\infty c_n x^n:\;R=\lim\frac{|c_n|}{|c_{n+1}|},\quad \frac{a_0}{2}+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)

O workshop unifica Taylor, séries de potências e Fourier. Cada problema requer identificar a ferramenta certa: aproximação local (Taylor), representação global (Fourier), ou geração de funções (série de potências).

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Resumo das ferramentas da Unidade 2

Ferramenta	Objetivo	Forma
Sequências	Limite de $\{a_n\}$	$\lim a_n = L$ ou divergência
Séries clássicas	Soma exata	Geométrica, telescópica
Testes de convergência	Decidir conv./div.	Integral, comparação, razão, raiz, Leibniz
Séries de potências	Função $\to$ série	$\sum c_n(x-a)^n$ , raio $R$
Taylor/Maclaurin	Aproximação + erro	$T_N + R_N$ , resto de Lagrange
Fourier	Sinal periódico	$a_0/2 + \sum(a_n\cos + b_n\sin)$ , Parseval

Identidades úteis para o workshop

$\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, \quad \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, \quad \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} = e^x$ $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, \quad \cosh x = \cos(ix), \quad \sinh x = -i\sin(ix)$

Problemas do Workshop

Example— 4· W4 — Série de Fourier + Parseval

Use a série de Fourier de $f(x) = x^2$ em $[-\pi,\pi]$ para calcular $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}$ .

$f(x) = \dfrac{\pi^2}{3} + 4\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$ . Logo $a_0 = 2\pi^2/3$ , $a_n = 4(-1)^n/n^2$ , $b_n = 0$ .

Parseval: $\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi x^4\,dx = \dfrac{a_0^2}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n^2$ .

$\dfrac{2\pi^4}{5} = \dfrac{2\pi^4}{9} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{16}{n^4}$ , logo $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^4} = \dfrac{\pi^4}{90}$ .

To continue

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §11.7–11.10 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 3, §9.6–9.9 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 1, §10.22–10.27 — Wiley, 2ª ed.
OpenStax — Calculus II, §5.6–6.4 — CC-BY (openstax.org)
Demidovich, B. — Problemas e Exercícios de Análise Matemática, §5.7–5.8 — Mir

Workshop U2 — Sequências, Séries e Taylor

Resumo das ferramentas da Unidade 2

Identidades úteis para o workshop

Problemas do Workshop

Exercícios do Workshop

Série A — Técnicas puras

Série B — Somas e representações

Série C — Problemas interdisciplinares

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