v1 · padrão canônico

Lição 21 — Introdução a EDOs

Introdução a equações diferenciais ordinárias: classificação por ordem e linearidade, soluções gerais e particulares, campo de direções e curvas de isóclinas.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 3 · USP MAT0112 · ITA MA-012

F\!\left(x,\,y,\,y',\,y'',\ldots,y^{(n)}\right)=0\quad\text{ordem }n;\quad y'+p(x)y=q(x)\text{ — linear de 1}^{{\rm a}}\text{ ordem}

Uma EDO de ordem $n$ envolve a incógnita $y(x)$ e suas derivadas até a ordem $n$ . A solução geral contém $n$ constantes arbitrárias; condições iniciais determinam a solução particular.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Classificação e terminologia

Classificação de EDOs

Ordem: a ordem da derivada mais alta que aparece.
Linear: $a_n(x)y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y = g(x)$ . Não linear se $y$ , $y'$ , ... aparecem com potências $\neq 1$ ou em produtos entre si.
Homogênea (para linear): $g(x) = 0$ .
Coeficientes constantes: $a_k$ são constantes.

Exemplos de classificação

EDO	Ordem	Linear?	Homogênea?
$y'' + 3y' - 2y = 0$	2	Sim	Sim
$y' = \sin(xy)$	1	Não	—
$y'' + y^2 = x$	2	Não	—
$y'' + xy' + e^x y = \cos x$	2	Sim	Não

Solução, PVI e PVC

Solução geral: família de soluções com $n$ constantes arbitrárias ( $n$ = ordem).

Problema de valor inicial (PVI): EDO de ordem $n$ + condições $y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1, \ldots$

Teorema de Picard-Lindelöf: se $f$ e $\partial f/\partial y$ são contínuas, o PVI $y' = f(x,y)$ , $y(x_0) = y_0$ tem solução única numa vizinhança de $x_0$ .

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Boyce, W. & DiPrima, R. — Equações Diferenciais Elementares, §1.1–1.3, §2.8 — LTC, 10ª ed.
Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §9.1–9.2 — Cengage, 8ª ed.
REAMAT — Cálculo Numérico, §7.1 — UFRGS (reamat.ufrgs.br)
Zill, D.G. — Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, §1.1–1.2 — Cengage, 10ª ed.

Lição 21 — Introdução a EDOs

Classificação e terminologia

Classificação de EDOs

Exemplos de classificação

Solução, PVI e PVC

Campo de direções

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Classificação e verificação

Bloco B — Campo de direções e análise qualitativa

Bloco C — Nível ITA/USP

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