v1 · padrão canônico

Lição 22 — EDOs Separáveis

Equações diferenciais separáveis: método de separação de variáveis, crescimento e decaimento exponencial, lei de Newton do resfriamento, modelo logístico.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 3 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C

Em uma EDO separável, o lado direito é produto de uma função de $x$ por uma função de $y$ . Separa-se e integra-se cada lado.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Método e equações importantes

Método de separação de variáveis

Escreva $\dfrac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ .
Separe: $\dfrac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx$ .
Integre ambos os lados: $\displaystyle\int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$ .
Resolva para $y$ explicitamente se possível.

Atenção: soluções singulares $h(y^*) = 0$ podem ser perdidas na divisão.

Crescimento e decaimento exponencial

$\dfrac{dP}{dt} = kP$ ( $k > 0$ : crescimento; $k < 0$ : decaimento).

Solução: $P(t) = P_0 e^{kt}$ .

Meia-vida (decaimento): $T_{1/2} = \ln 2/|k|$ . Tempo de duplicação (crescimento): $T_2 = \ln 2/k$ .

Lei de Newton do resfriamento

$\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_\infty)$ , $k > 0$ .

Solução: $T(t) = T_\infty + (T_0 - T_\infty)e^{-kt}$ .

Modelo logístico

$\dfrac{dP}{dt} = rP\!\left(1-\dfrac{P}{K}\right)$ .

Solução: $P(t) = \dfrac{K}{1 + \left(\dfrac{K}{P_0}-1\right)e^{-rt}}$ .

Ponto de inflexão: $P = K/2$ (máximo crescimento).

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Separáveis diretas

Bloco B — Modelagem

Bloco C — Nível ITA/USP

To continue

Boyce, W. & DiPrima, R. — Equações Diferenciais Elementares, §2.2–2.3 — LTC, 10ª ed.
Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §9.3–9.4 — Cengage, 8ª ed.
Zill, D.G. — Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, §2.2, §3.1–3.3 — Cengage, 10ª ed.
OpenStax — Calculus II, §4.4 — CC-BY (openstax.org)
REAMAT — Cálculo Numérico, §7.2 — UFRGS