v1 · padrão canônico

Lição 23 — EDOs Lineares de 1ª Ordem

Equações lineares de primeira ordem: fator integrante, solução geral homogênea + particular, variação de parâmetros para 1ª ordem, aplicações a circuitos e mistura.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 3 · USP MAT0112 · ITA MA-012

y' + p(x)y = q(x),\quad \mu(x) = e^{\int p\,dx},\quad y = \frac{1}{\mu}\left(\int\mu\,q\,dx + C\right)

O fator integrante $\mu(x)$ transforma o lado esquerdo em uma derivada de produto: $(\mu y)' = \mu q$ . Integra-se diretamente e divide-se por $\mu$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Método do fator integrante

Forma padrão

$y' + p(x)y = q(x)$

Solução homogênea ( $q = 0$ ): separável, $y_h = Ce^{-\int p\,dx}$ .

Fator integrante

Multiplique ambos os lados por $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ : $\mu y' + \mu p y = \mu q \quad\Longrightarrow\quad (\mu y)' = \mu q$

Integrando: $\mu(x)y = \int\mu(x)q(x)\,dx + C$ $y = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int\mu(x)q(x)\,dx + C\right]$

Estrutura da solução

$y = y_h + y_p = Ce^{-\int p\,dx} + y_p$

onde $y_p$ é uma solução particular (qualquer valor de $C$ fixo, e.g., $C=0$ ).

Princípio da superposição (linear)

Se $y_1$ e $y_2$ são soluções de $y'+py=q_1$ e $y'+py=q_2$ respectivamente, então $y_1+y_2$ é solução de $y'+py=q_1+q_2$ .

Existência e unicidade para PVI linear

Se $p$ e $q$ são contínuas em $(a,b)$ e $x_0 \in (a,b)$ , o PVI tem solução única em $(a,b)$ — sem restrição de tamanho do intervalo.

Exemplos resolvidos

Example— 3· Ex. 3 — Circuito RL

No circuito RL com $R = 4\,\Omega$ , $L = 1\,H$ e $V(t) = 12\sin(3t)$ V, $i(0) = 0$ :

$i' + 4i = 12\sin 3t$ . $\mu = e^{4t}$ .

$(e^{4t}i)' = 12e^{4t}\sin 3t$ .

$e^{4t}i = \displaystyle\int 12e^{4t}\sin 3t\,dt = \frac{12e^{4t}(4\sin 3t - 3\cos 3t)}{25} + C$ .

$i = \frac{12(4\sin 3t - 3\cos 3t)}{25} + Ce^{-4t}$ .

$i(0) = 0$ : $-36/25 + C = 0$ , $C = 36/25$ .

$i(t) = \frac{48\sin 3t - 36\cos 3t}{25} + \frac{36}{25}e^{-4t}$ .

To continue

Boyce, W. & DiPrima, R. — Equações Diferenciais Elementares, §2.1, §2.3 — LTC, 10ª ed.
Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §9.5 — Cengage, 8ª ed.
Zill, D.G. — Equações Diferenciais, §2.3, §3.3–3.4 — Cengage, 10ª ed.
OpenStax — Calculus II, §4.5 — CC-BY (openstax.org)
REAMAT — Cálculo Numérico, §7.2 — UFRGS