Lição 24 — EDOs de 2ª Ordem Homogêneas

Teoria geral e equação característica

Equação característica

Para $ay'' + by' + cy = 0$, tente $y = e^{rx}$: $ar^2 + br + c = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Três casos

Caso 1: $\Delta = b^2-4ac > 0$ — duas raízes reais distintas $r_1, r_2$: $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$

Caso 2: $\Delta = 0$ — raiz real repetida $r = -b/(2a)$: $y = (c_1 + c_2 x)e^{rx}$

Caso 3: $\Delta < 0$ — raízes complexas $r = \alpha \pm i\beta$ ($\alpha = -b/(2a)$, $\beta = \sqrt{4ac-b^2}/(2a)$): $y = e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x + c_2\sin\beta x)$

Wronskiano e independência linear

O Wronskiano de $y_1, y_2$ é $W = \begin{vmatrix}y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2'\end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_2 y_1'$.

$y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes iff $W \neq 0$ (em algum ponto).

Solução geral: se $y_1, y_2$ são l.i., então $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ é a solução geral.

Oscilação amortecida

Para $my'' + by' + ky = 0$ (oscilador massa-mola):

• $b^2 - 4mk > 0$: sobreamortecido (sem oscilação).
• $b^2 - 4mk = 0$: criticamente amortecido.
• $b^2 - 4mk < 0$: subamortecido ($y = e^{-bt/(2m)}(c_1\cos\omega_d t + c_2\sin\omega_d t)$, frequência amortecida $\omega_d = \sqrt{4mk-b^2}/(2m)$).