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Lição 25 — EDOs de 2ª Ordem Não-Homogêneas

Equações lineares de segunda ordem não-homogêneas: método dos coeficientes indeterminados e variação de parâmetros. Ressonância e oscilação forçada.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 3 · USP MAT0112 · ITA MA-012

y'' + py' + qy = g(x),\quad y = y_h + y_p;\quad y_p = \frac{-y_1\int\frac{y_2 g}{W}\,dx + y_2\int\frac{y_1 g}{W}\,dx}{1}

A solução geral é a homogênea mais qualquer particular. Coeficientes indeterminados funciona quando $g$ é polinômio, exponencial ou trigonométrica. Variação de parâmetros é geral.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Dois métodos para a solução particular

Método dos coeficientes indeterminados

Funciona quando $g(x)$ é combinação linear de: $e^{ax}P_n(x)$ , $e^{ax}P_n(x)\cos\beta x$ , $e^{ax}P_n(x)\sin\beta x$ .

Forma da particular: use o mesmo "tipo" que $g$ , mas multiplique por $x^s$ onde $s$ é a multiplicidade da raiz correspondente na equação característica.

Forma de $g(x)$	Forma de $y_p$ (se raiz não coincide)
$P_n(x)$	$Q_n(x)$ (polinômio grau $n$ )
$e^{ax}P_n(x)$	$e^{ax}Q_n(x)$
$\cos\beta x$ ou $\sin\beta x$	$A\cos\beta x + B\sin\beta x$
$e^{ax}\cos\beta x$	$e^{ax}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$

Regra de modificação: se $g$ coincidir com solução homogênea, multiplique $y_p$ por $x$ (ou $x^2$ se raiz dupla).

Variação de parâmetros

Para $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$ com $y_h = c_1 y_1 + c_2 y_2$ :

$y_p = -y_1\int\frac{y_2(x)g(x)}{W(x)}\,dx + y_2\int\frac{y_1(x)g(x)}{W(x)}\,dx$

onde $W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$ é o Wronskiano.

Vantagem: funciona para qualquer $g(x)$ contínua, inclusive com coeficientes variáveis.

Exemplos resolvidos

Example— 4· Ex. 4 — Oscilação forçada sem amortecimento

Resolva $y'' + 4y = 3\cos 2t$ (forçamento em frequência natural $\omega_0 = 2$ ).

$y_h = c_1\cos 2t + c_2\sin 2t$ . Regra de modificação: $y_p = t(A\cos 2t + B\sin 2t)$ .

$y_p'' = (-4At+4B)\cos 2t + (-4Bt-4A)\sin 2t + \cdots$

Substituindo: $4B\cos 2t - 4A\sin 2t = 3\cos 2t \Rightarrow B = 3/4$ , $A = 0$ .

$y = c_1\cos 2t + c_2\sin 2t + \frac{3t}{4}\sin 2t$ .

A amplitude $3t/4$ cresce sem limite — ressonância.

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Boyce, W. & DiPrima, R. — Equações Diferenciais Elementares, §3.5–3.6, §3.8 — LTC, 10ª ed.
Zill, D.G. — Equações Diferenciais, §4.4, §4.6, §5.1–5.2 — Cengage, 10ª ed.
Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §17.2 — Cengage, 8ª ed.
REAMAT — Cálculo Numérico, §7.3 — UFRGS

Lição 25 — EDOs de 2ª Ordem Não-Homogêneas

Dois métodos para a solução particular

Método dos coeficientes indeterminados

Variação de parâmetros

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Coeficientes indeterminados

Bloco B — Variação de parâmetros

Bloco C — Ressonância e aplicações

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