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Lição 26 — Transformada de Laplace

Transformada de Laplace: definição, tabela de pares, propriedades (linearidade, deslocamento, derivada, integral). Solução de EDOs lineares com condições iniciais via Laplace.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 3 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt = F(s);\quad \mathcal{L}\{f'\} = sF(s)-f(0);\quad \mathcal{L}\{f''\} = s^2F(s)-sf(0)-f'(0)

A transformada de Laplace converte uma EDO em equação algébrica em $s$ . Resolve-se para $F(s)$ e aplica-se a transformada inversa — condições iniciais são incorporadas automaticamente.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e tabela de pares principais

Definição

$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt, \quad s > \sigma_0$

Existe para funções de crescimento exponencial: $|f(t)| \leq Me^{at}$ para $t$ grande.

Tabela de pares essenciais

$f(t)$	$F(s) = \mathcal{L}\{f\}$	Válido para
$1$	$1/s$	$s > 0$
$e^{at}$	$1/(s-a)$	$s > a$
$t^n$	$n!/s^{n+1}$	$s > 0$
$\sin(bt)$	$b/(s^2+b^2)$	$s > 0$
$\cos(bt)$	$s/(s^2+b^2)$	$s > 0$
$e^{at}\sin(bt)$	$b/((s-a)^2+b^2)$	$s > a$
$e^{at}\cos(bt)$	$(s-a)/((s-a)^2+b^2)$	$s > a$
$t^n e^{at}$	$n!/(s-a)^{n+1}$	$s > a$
$\delta(t-a)$	$e^{-as}$	$s > 0$
$u(t-a)f(t-a)$	$e^{-as}F(s)$	(deslocamento $t$ )

$\mathcal{L}\{af+bg\} = aF+bG \quad\text{(linearidade)}$ $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a) \quad\text{(deslocamento em }s\text{)}$ $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s)-f(0), \quad \mathcal{L}\{f''\} = s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ $\mathcal{L}\{(f*g)(t)\} = F(s)\cdot G(s) \quad\text{(convolução)}$

Estratégia de solução

Aplique $\mathcal{L}$ à EDO → equação algébrica em $F(s)$ .
Resolva para $F(s)$ (frações parciais se necessário).
Aplique $\mathcal{L}^{-1}$ via tabela ou frações parciais.

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Boyce, W. & DiPrima, R. — Equações Diferenciais Elementares, §6.1–6.6 — LTC, 10ª ed.
Zill, D.G. — Equações Diferenciais, §7.1–7.5 — Cengage, 10ª ed.
Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §17.3 — Cengage, 8ª ed.
REAMAT — Cálculo Numérico, §7.4 — UFRGS

Lição 26 — Transformada de Laplace

Definição e tabela de pares principais

Definição

Tabela de pares essenciais

Propriedades chave

Estratégia de solução

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Transformadas diretas

Bloco B — Transformada inversa e PVIs

Bloco C — Nível ITA/USP

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