Lição 27 — Sistemas de EDOs

Sistemas lineares e autovalores

Forma matricial

O sistema $\begin{cases}x_1' = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ x_2' = a_{21}x_1 + a_{22}x_2\end{cases}$ é $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$, $\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$.

Solução via autovalores

Se $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ (autovalor $\lambda$, autovetor $\mathbf{v}$), então $\mathbf{x}(t) = e^{\lambda t}\mathbf{v}$ satisfaz $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$.

Equação característica: $\det(A-\lambda I) = 0$.

Casos para $2\times 2$:

• $\lambda_1, \lambda_2$ reais distintos: $\mathbf{x} = c_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2$.
• $\lambda_1 = \lambda_2$ (repetido): $\mathbf{x} = c_1 e^{\lambda t}\mathbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda t}(\mathbf{v}_2 + t\mathbf{v}_1)$ (vetor generalizado).
• $\lambda = \alpha\pm i\beta$: $\mathbf{x} = e^{\alpha t}[c_1(\text{Re}\,\mathbf{v}\cos\beta t - \text{Im}\,\mathbf{v}\sin\beta t) + c_2(\text{Re}\,\mathbf{v}\sin\beta t + \text{Im}\,\mathbf{v}\cos\beta t)]$.

Estabilidade e retrato de fase

• $\text{Re}(\lambda_k) < 0$ para todo $k$: equilíbrio estável (atrator).
• Algum $\text{Re}(\lambda_k) > 0$: instável.
• $\text{Re}(\lambda_k) = 0$: análise de centro ou sela.

Tipos de equilíbrio para $2\times 2$: nó, nó impróprio, espiral, centro, sela.

Exponencial de matriz

$e^{At} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(At)^n}{n!}$. Para $A$ diagonalizável com $A = PDP^{-1}$: $e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$.