Lição 28 — Métodos Numéricos para EDOs

Métodos e análise de erro

Método de Euler

Para $y' = f(x,y)$, $y(x_0) = y_0$, com passo $h = (b-a)/N$: $y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n), \quad x_{n+1} = x_n + h$

Erro de truncamento local (ETL): $O(h^2)$. Erro global: $O(h)$.

Método de Euler Melhorado (Heun)

$k_1 = f(x_n, y_n), \quad k_2 = f(x_n+h, y_n+hk_1)$ $y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(k_1+k_2)$

Erro global: $O(h^2)$.

Runge-Kutta de 4ª Ordem (RK4)

$k_1 = f(x_n, y_n)$ $k_2 = f\!\left(x_n+\frac{h}{2},\, y_n+\frac{h}{2}k_1\right)$ $k_3 = f\!\left(x_n+\frac{h}{2},\, y_n+\frac{h}{2}k_2\right)$ $k_4 = f(x_n+h,\, y_n+hk_3)$ $y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$

Erro global: $O(h^4)$ — padrão industrial para EDOs suaves.

Controle de passo adaptativo

Compara soluções com passo $h$ e $h/2$; ajusta $h$ para manter o erro dentro de tolerância. Implementado em ode45 (MATLAB) e scipy.integrate.solve_ivp.

Equações stiff

EDOs com múltiplos escalas de tempo muito diferentes (e.g., $y' = -1000y + \sin t$). Métodos explícitos requerem $h$ muito pequeno; métodos implícitos (Euler implícito, Trapezoidal) são mais eficientes.