Lição 29 — EDOs em Séries de Potências

Pontos ordinários e singulares

Classificação de pontos

Para $P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0$ (forma: $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ com $p = Q/P$, $q = R/P$):

• $x_0$ é ponto ordinário se $p$ e $q$ são analíticas em $x_0$.
• $x_0$ é ponto singular regular se $(x-x_0)p(x)$ e $(x-x_0)^2 q(x)$ são analíticas em $x_0$.
• Caso contrário: ponto singular irregular.

Teorema (ponto ordinário)

Se $x_0$ é ponto ordinário, a solução em série $y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ converge para $|x-x_0| < \rho$ onde $\rho$ é a distância de $x_0$ à singularidade mais próxima (no plano complexo).

Método de Frobenius (ponto singular regular)

Tente $y = x^r\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r}$ com $a_0 \neq 0$.

Substituindo na EDO: a equação de índices $r(r-1)p_0 + rq_0 + r_0 = 0$ (onde $p_0 = \lim_{x\to 0}xp(x)$, $q_0 = \lim_{x\to 0}x^2 q(x)$) determina $r_1, r_2$.

Três casos:

• $r_1 - r_2 \notin \mathbb{Z}$: duas soluções de Frobenius $y_1, y_2$.
• $r_1 = r_2$: $y_1$ de Frobenius; $y_2 = y_1\ln x + \sum b_n x^{n+r_1}$.
• $r_1 - r_2 \in \mathbb{Z}^+$: $y_1$ com $r_1 = r_{\max}$; $y_2$ pode conter $y_1\ln x$.

Equação de Bessel de ordem $\nu$

$x^2 y'' + xy' + (x^2-\nu^2)y = 0$

Solução: $J_\nu(x) = \displaystyle\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}$.