v1 · padrão canônico

Workshop U3 — Equações Diferenciais

Workshop de EDOs: problemas desafiadores de modelagem, sistemas, transformada de Laplace, análise de estabilidade e aplicações em engenharia mecânica, elétrica e civil.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 3 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\mathcal{L}\{y''\}+p\mathcal{L}\{y'\}+q\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{g\}\;\Rightarrow\;Y(s)\;\Rightarrow\;\mathcal{L}^{-1}\{Y\}=y(t)

O workshop integra todas as técnicas da Unidade 3: separáveis, lineares, 2ª ordem, Laplace, sistemas e métodos numéricos. Cada problema é uma combinação de múltiplas ferramentas.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Resumo das ferramentas da Unidade 3

Tipo de EDO	Técnica	Resultado
Separável $y' = g(x)h(y)$	Separa e integra	$\int dy/h = \int g\,dx + C$
Linear 1ª ordem $y'+py=q$	Fator integrante $\mu = e^{\int p}$	$y = (\int\mu q + C)/\mu$
2ª ordem homogênea (ctes. ctes.)	Eq. característica	$e^{r_1 x}, e^{r_2 x}$ ; 3 casos
2ª ordem não-homogênea	Coef. indeterminados / Var. parâmetros	$y = y_h + y_p$
PVI geral	Laplace	$Y(s)$ , frações parciais, tabela
Sistema $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$	Autovalores/autovetores	Modos $e^{\lambda_k t}\mathbf{v}_k$
EDO com coefs. variáveis	Séries de potências / Frobenius	Recorrência para $a_n$
Qualquer PVI (numérico)	RK4	Erro $O(h^4)$

Problemas do Workshop

Example— 1· W1 — Oscilador com amortecimento e forçamento

Um circuito RLC tem $R=20\,\Omega$ , $L=5\,H$ , $C=0{,}02\,F$ , $E(t)=100\cos(2t)$ V.

A carga $q$ satisfaz $5q'' + 20q' + 50q = 100\cos 2t$ .

Simplificando: $q'' + 4q' + 10q = 20\cos 2t$ .

Equação característica: $r^2+4r+10=0$ , $r = -2\pm i\sqrt{6}$ .

$q_h = e^{-2t}(c_1\cos\sqrt{6}t + c_2\sin\sqrt{6}t)$ .

Particular: $q_p = A\cos 2t + B\sin 2t$ , substituindo:

$(10-4)A + 4\cdot 2B = 20 \Rightarrow 6A+8B = 20$ ; $(10-4)B - 8A = 0 \Rightarrow -8A+6B = 0$ .

$A = 30/25 = 6/5$ , $B = 8/5$ .

$q = e^{-2t}(c_1\cos\sqrt{6}t + c_2\sin\sqrt{6}t) + \frac{6}{5}\cos 2t + \frac{8}{5}\sin 2t$ .

Example— 2· W2 — Sistema não-linear linearizado

O pêndulo não-linear: $\theta'' + (g/L)\sin\theta = 0$ .

Para $\theta$ pequeno: $\sin\theta \approx \theta$ , logo $\theta'' + \omega^2\theta = 0$ ( $\omega = \sqrt{g/L}$ ).

Período aproximado: $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{L/g}$ .

Equilíbrio instável em $\theta = \pi$ : linearizando com $\phi = \theta - \pi$ :

$\phi'' + (g/L)\sin(\pi+\phi) = \phi'' - (g/L)\sin\phi \approx \phi'' - \omega^2\phi = 0$ .

Eq. característica: $r^2 - \omega^2 = 0$ , $r = \pm\omega$ . Solução: $\phi = c_1 e^{\omega t} + c_2 e^{-\omega t}$ — ponto de sela (instável).

To continue

Boyce, W. & DiPrima, R. — Equações Diferenciais Elementares, §2–10 — LTC, 10ª ed.
Zill, D.G. — Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, §2–10 — Cengage, 10ª ed.
Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §9, §17 — Cengage, 8ª ed.
REAMAT — Cálculo Numérico, §7 — UFRGS (reamat.ufrgs.br)

Workshop U3 — Equações Diferenciais

Resumo das ferramentas da Unidade 3

Problemas do Workshop

Exercícios do Workshop

Série A — Problemas clássicos de modelagem

Série B — Análise de sistemas

Série C — Problemas de nível ITA/USP

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