Lição 31 — Integrais Duplas

Definição e Teorema de Fubini

Integral dupla sobre retângulo

Para $R = [a,b]\times[c,d]$, a integral dupla é o limite das somas de Riemann bidimensionais:

$\iint_R f(x,y)\,dA = \lim_{m,n\to\infty}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta A$

onde $\Delta A = \Delta x\,\Delta y$ é a área de cada sub-retângulo.

Teorema de Fubini

Se $f$ é contínua em $R = [a,b]\times[c,d]$: $\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b\!\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d\!\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

A ordem de integração é irrelevante para funções contínuas.

Regiões gerais

Tipo I ($g_1(x) \leq y \leq g_2(x)$, $a\leq x\leq b$): $\iint_D f\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

Tipo II ($h_1(y) \leq x \leq h_2(y)$, $c\leq y\leq d$): $\iint_D f\,dA = \int_c^d\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

Propriedades

• Linearidade: $\iint_D(af+bg)\,dA = a\iint_D f + b\iint_D g$
• Aditividade: $\iint_{D_1\cup D_2} f\,dA = \iint_{D_1}f + \iint_{D_2}f$ (se $D_1\cap D_2$ tem área zero)
• Comparação: $f\leq g \Rightarrow \iint_D f \leq \iint_D g$
• Valor médio: $f_{\text{méd}} = \dfrac{1}{A(D)}\iint_D f\,dA$