Lição 32 — Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Mudança de variáveis para polares

Transformação

$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \theta = \arctan(y/x)$

Jacobiano

O jacobiano da transformação $(r,\theta)\mapsto(x,y)$ é: $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\\sin\theta & r\cos\theta\end{vmatrix} = r$

Portanto $dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta$.

Regiões polares típicas

Integral gaussiana via polares

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

Prova: $I^2 = \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\right)^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}dA = \int_0^{2\pi}\!\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = \pi$.