Lição 33 — Aplicações de Integrais Duplas

Fórmulas de aplicações

Área e volume

$A(D) = \iint_D dA;\qquad V = \iint_D f(x,y)\,dA \quad (f\geq 0)$

Massa e centroide

Para placa com densidade $\rho(x,y)$: $m = \iint_D \rho(x,y)\,dA$ $\bar{x} = \frac{M_y}{m} = \frac{1}{m}\iint_D x\rho\,dA;\quad \bar{y} = \frac{M_x}{m} = \frac{1}{m}\iint_D y\rho\,dA$

$M_x$ = momento em relação ao eixo $x$; $M_y$ = momento em relação ao eixo $y$.

Momentos de inércia

$I_x = \iint_D y^2\rho\,dA;\quad I_y = \iint_D x^2\rho\,dA;\quad I_O = I_x+I_y = \iint_D(x^2+y^2)\rho\,dA$

Raio de giração: $\bar{y}_g = \sqrt{I_x/m}$ (distância ao eixo $x$ que, concentrada, daria o mesmo $I_x$).

Teorema dos eixos paralelos: $I_{\text{eixo}} = I_{\text{cg}} + m\,d^2$ onde $d$ é a distância entre os eixos.

Probabilidade conjunta

Se $(X,Y)$ tem densidade $f(x,y)\geq 0$, $\iint_{\mathbb{R}^2}f = 1$: $P((X,Y)\in D) = \iint_D f(x,y)\,dA$ $E[X] = \iint_{\mathbb{R}^2} x f(x,y)\,dA;\quad \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$