v1 · padrão canônico

Lição 34 — Integrais Triplas

Integrais triplas sobre sólidos gerais: Fubini em 3D, seis ordens de integração, inversão de ordem, volume e massa de sólidos com densidade variável.

Usado em: Cálculo 2 — Unidade 4 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\!\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f\,dz\,dy\,dx

O Teorema de Fubini em 3D permite calcular a integral tripla como três integrais simples iteradas em qualquer ordem — há 6 ordens possíveis para um sólido tipo I em $x$ .

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e Fubini em 3D

Integral tripla

Para $E\subset\mathbb{R}^3$ limitado e $f$ contínua em $E$ : $\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \lim\sum_{i,j,k} f(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\,\Delta V$

Regiões tipo I, II, III

Tipo I (projeção em $xy$ ): $E = \{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\, u_1(x,y)\leq z\leq u_2(x,y)\}$ $\iiint_E f\,dV = \iint_D\!\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f\,dz\,dA$

Tipo II (projeção em $yz$ ) e Tipo III (projeção em $xz$ ) — análogos.

As 6 ordens de integração

Para caixa $[a,b]\times[c,d]\times[p,q]$ , Fubini vale em qualquer ordem: $dz\,dy\,dx$ ; $dz\,dx\,dy$ ; $dy\,dz\,dx$ ; $dy\,dx\,dz$ ; $dx\,dy\,dz$ ; $dx\,dz\,dy$ .

Para regiões gerais, a ordem afeta quais limites dependem de quais variáveis.

Volume e massa

$V(E) = \iiint_E dV;\qquad m = \iiint_E\rho(x,y,z)\,dV$

$\bar{x} = \frac{1}{m}\iiint_E x\rho\,dV;\quad I_z = \iiint_E(x^2+y^2)\rho\,dV$

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Integrais diretas

Bloco B — Inversão de ordem

Bloco C — Nível ITA/USP

Para continuar

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §15.6–15.7 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 3, §2.1–2.5 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §11.11–11.14 — Wiley, 2ª ed.
OpenStax — Calculus Volume 3, §5.4 — openstax.org
Leithold, L. — O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 2, §21.1–21.2 — Harbra, 3ª ed.