Lição 35 — Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Transformações e jacobianos

Coordenadas cilíndricas

$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z$ $r^2 = x^2+y^2,\quad \theta = \arctan(y/x)$

Jacobiano: $|J| = r$. Portanto $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$.

Coordenadas esféricas

$x = \rho\sin\phi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\phi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\phi$ $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2},\quad \phi = \arccos(z/\rho),\quad \theta = \arctan(y/x)$

com $\rho\geq 0$, $0\leq\phi\leq\pi$, $0\leq\theta\leq 2\pi$.

Jacobiano: $|J| = \rho^2\sin\phi$. Portanto $dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$.

Fórmulas de integral

Bola $\rho\leq a$: $V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi\!\int_0^a \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = \frac{4\pi a^3}{3}$.

Cilindro $r\leq a$, $0\leq z\leq h$: $V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^a\!\int_0^h r\,dz\,dr\,d\theta = \pi a^2 h$.

Cone $z = r$, $0\leq z\leq h$ (em cilíndricas): integre com $0\leq r\leq h$, $r\leq z\leq h$.