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Lição 36 — Mudança de Variáveis e Jacobiano

Mudança de variáveis em integrais duplas e triplas: jacobiano, transformações lineares e não-lineares, simplificação de regiões e integrandos.

Usado em: Cálculo 2 — Unidade 4 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_S f(x(u,v),y(u,v))\,\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv

O jacobiano $J = \partial(x,y)/\partial(u,v)$ é o fator de escala de área da transformação. Ele generaliza o fator $r$ de polares e $\rho^2\sin\phi$ de esféricas.

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Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Teorema de mudança de variáveis

Caso 2D

Seja $T: S\to D$ com $T(u,v) = (x(u,v), y(u,v))$ , $C^1$ , injetiva no interior.

Jacobiano: $J_T(u,v) = \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix}x_u & x_v\\y_u & y_v\end{vmatrix} = x_u y_v - x_v y_u$

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_S f(T(u,v))\,|J_T(u,v)|\,du\,dv$

Caso 3D

$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_S f(T(\mathbf{u}))\,|\det J_T(\mathbf{u})|\,d\mathbf{u}$

Transformações úteis

Transformação	Jacobiano
Polares $(r,\theta)\to(x,y)$	$r$
Cilíndricas $(r,\theta,z)\to(x,y,z)$	$r$
Esféricas $(\rho,\phi,\theta)\to(x,y,z)$	$\rho^2\sin\phi$
Linear $x=au$ , $y=bv$	$\lvert ab\rvert$
Elíptica $x=ar\cos\theta$ , $y=br\sin\theta$	$abr$
Elipsoidal $x=a\rho\sin\phi\cos\theta$ , etc.	$abc\rho^2\sin\phi$

Propriedade de composição

Se $T = T_2\circ T_1$ : $|J_T| = |J_{T_2}|\cdot|J_{T_1}|$ — o jacobiano composto é produto dos jacobianos.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Ex. 1 — Paralelogramo via transformação linear

Calcule $\iint_D (x-y)^2\,dA$ onde $D$ é o quadrado com vértices $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,0)$ , $(1,-1)$ .

Defina $u = x-y$ , $v = x+y$ . Então $x = (u+v)/2$ , $y = (v-u)/2$ .

$J = \begin{vmatrix}1/2&1/2\\-1/2&1/2\end{vmatrix} = 1/2$ .

$D$ em $(u,v)$ : $S = [-1,1]\times[0,2]$ .

$\iint_S u^2\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv = \frac{1}{2}\int_0^2\!\int_{-1}^1 u^2\,du\,dv = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{3}.$

Exemplo— 3· Ex. 3 — Integrando simplificado

Calcule $\iint_D e^{(x+y)/(x-y)}\,dA$ onde $D = \{x-y\geq 1, x+y\geq 0, x\leq 2\}$ .

Defina $u = x+y$ , $v = x-y$ . Jacobiano: $|J| = 1/2$ (calculado como acima).

$S$ : $v\geq 1$ , $u\geq 0$ , $(u+v)/2\leq 2 \Rightarrow u+v\leq 4$ .

$\frac{1}{2}\int_1^{\infty}\!\int_0^{4-v} e^{u/v}\,du\,dv \quad \text{(cuidado: limites ficam } v\in[1,4]\text{)}.$

Para $v\in[1,4]$ : $\frac{1}{2}\int_1^4 v(e^{(4-v)/v}-1)\,dv$ — resolvível mas trabalhoso.

Para continuar

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §15.10 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 3, §3.1 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §11.8 — Wiley, 2ª ed.
OpenStax — Calculus Volume 3, §5.7 — openstax.org
Marsden, J. & Tromba, A. — Vector Calculus, §5.5 — Freeman, 6ª ed.