Lição 37 — Campos Vetoriais e Integrais de Linha

Campos vetoriais e integrais de linha

Campos vetoriais

$\mathbf{F}: D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, $\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\hat{i}+Q(x,y)\hat{j}$ (2D), $\mathbf{F}(x,y,z) = P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k}$ (3D).

Gradiente: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$ — campo vetorial derivado de um potencial $f$.

Integral de linha escalar

$\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))|\mathbf{r}'(t)|\,dt$ — integra sobre o comprimento de arco.

Integral de linha vetorial (trabalho)

Para $C$ parametrizada por $\mathbf{r}(t)$, $t\in[a,b]$: $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz$

Campos conservativos e potencial

$\mathbf{F}$ é conservativo se $\mathbf{F} = \nabla f$ para algum $f$ (função potencial).

Critério (2D): $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ em domínio simplesmente conexo.

Critério (3D): $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ (rotacional nulo).

Teorema Fundamental das Integrais de Linha

$\int_C\nabla f\cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{r}(b)) - f(\mathbf{r}(a))$

Consequência: para campo conservativo, $\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$ (qualquer curva fechada).