Lição 38 — Teorema de Green

Enunciado e formas equivalentes

Teorema de Green

Seja $D$ região plana simples (limitada por curva fechada simples $C = \partial D$, com orientação positiva — anti-horária). Se $P$ e $Q$ têm derivadas parciais contínuas em $D$:

$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

Forma de rotacional e divergência

Escrevendo $\mathbf{F} = (P,Q)$:

• Forma rotacional: $\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_D(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{k}\,dA$ onde $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{k} = Q_x - P_y$.

• Forma de divergência: $\oint_C\mathbf{F}\cdot\hat{n}\,ds = \iint_D\nabla\cdot\mathbf{F}\,dA$ onde $\nabla\cdot\mathbf{F} = P_x+Q_y$ e $\hat{n}$ é o normal exterior.

Área via integral de linha

$A(D) = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx$

(Caso especial com $Q = x$, $P = 0$ ou $Q = 0$, $P = -y$ ou média.)

Regiões não simples

Para $D$ com buracos: $\partial D = C_{\text{ext}} - C_{\text{int}}$ (curva exterior anti-horária, interior horária): $\iint_D(Q_x-P_y)\,dA = \oint_{C_{\text{ext}}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} - \oint_{C_{\text{int}}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$