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Lição 39 — Superfícies, Stokes e Gauss

Integrais de superfície, rotacional e divergência em 3D, Teorema de Stokes e Teorema da Divergência de Gauss: unificação dos teoremas integrais do cálculo vetorial.

Usado em: Cálculo 2 — Unidade 4 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV;\quad \oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}

Gauss (Divergência): fluxo saindo de $E$ iguala integral da divergência. Stokes: circulação sobre $\partial S$ iguala fluxo do rotacional por $S$ . Ambos generalizam Green.

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Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Integrais de superfície e teoremas

Integral de superfície escalar

Para superfície $S$ parametrizada por $\mathbf{r}(u,v)$ : $\iint_S f\,dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v))\,|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\,du\,dv$

Integral de superfície vetorial (fluxo)

$\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv$

O vetor $d\mathbf{S} = \hat{n}\,dS = (\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv$ é o elemento de área vetorial.

Rotacional e divergência em 3D

$\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\P&Q&R\end{vmatrix} = (R_y-Q_z)\hat{i}-(R_x-P_z)\hat{j}+(Q_x-P_y)\hat{k}$

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

Teorema de Stokes

$S$ superfície orientada, $C = \partial S$ sua fronteira com orientação induzida: $\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$

Teorema de Gauss (Divergência)

$E$ sólido com fronteira $\partial E = S$ com normal exterior: $\oiint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 2· Ex. 2 — Circulação via Stokes

Calcule $\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ para $\mathbf{F} = (-y^2,x,z^2)$ e $C$ : intersecção de $z = y$ e $x^2+y^2=1$ (visto de cima: anti-horário).

$\nabla\times\mathbf{F} = (0-0, 0-0, 1-(-2y)) = (0, 0, 1+2y)$ .

Tome $S$ como disco $x^2+y^2\leq 1$ , $z = y$ . $\hat{n} = (-0,-1,1)/\sqrt{2}$ ... Mais simples: projete no plano $xy$ , $d\mathbf{S} = (0,0,1)\cdot dA$ se $z =$ constante. Aqui $z = y$ , use $d\mathbf{S} = (0,-1,1)\,dA$ (gradiente de $y-z = 0$ ).

$\iint_{x^2+y^2\leq 1}(0,0,1+2y)\cdot(0,-1,1)\,dA = \iint(1+2y)\,dA = \pi + 0 = \pi$ .

(O termo $2y$ integra zero sobre o disco por simetria.)

Exemplo— 3· Ex. 3 — Integral de superfície direta

Calcule $\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ para $\mathbf{F} = (x,y,z)$ sobre o paraboloide $z = 1-x^2-y^2$ , $z\geq 0$ , com normal para cima.

Parametrize: $\mathbf{r}(x,y) = (x,y,1-x^2-y^2)$ .

$\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (2x, 2y, 1)$ (normal para cima $\checkmark$ ).

$\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) = 2x^2+2y^2+(1-x^2-y^2) = 1+x^2+y^2$ .

$\iint_{x^2+y^2\leq 1}(1+r^2)\,dA = \int_0^{2\pi}\!\int_0^1(1+r^2)r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{3}{4} = \frac{3\pi}{2}$ .

Para continuar

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §16.7–16.9 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 3, §6–7 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §12.11–12.14 — Wiley, 2ª ed.
OpenStax — Calculus Volume 3, §6.7–6.8 — openstax.org
Marsden, J. & Tromba, A. — Vector Calculus, §8.2–8.4 — Freeman, 6ª ed.