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Workshop U4 — Cálculo Vetorial e Integrais Múltiplas

Workshop de cálculo vetorial: problemas desafiadores de integrais duplas, triplas, mudança de variáveis, campos vetoriais, Green, Stokes e Gauss com aplicações em engenharia.

Used in: Cálculo 2 — Unidade 4 · USP MAT0112 · ITA MA-012

\int_{\partial\Omega}\omega = \int_\Omega d\omega\;\Rightarrow\;\text{Fundamental, Green, Stokes, Gauss}

O Teorema de Stokes generalizado unifica todos os teoremas integrais: o integral da derivada exterior $d\omega$ sobre $\Omega$ iguala o integral de $\omega$ sobre a fronteira $\partial\Omega$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Resumo das técnicas da Unidade 4

Técnica	Fórmula chave	Quando usar
Integral dupla — Fubini	$\iint_D f\,dA = \int\!\int f\,dy\,dx$	Regiões tipo I/II
Coordenadas polares	$dA = r\,dr\,d\theta$	Discos, anéis, simetria circular
Mudança de variáveis	$\iint f\,dA = \iint f\circ T\,\lvert J\rvert\,du\,dv$	Região complexa → simples
Integral tripla	$\iiint_E f\,dV$	Sólidos 3D
Cilíndricas	$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$	Cilindros, cones
Esféricas	$dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$	Esferas, cascos, cones
Integral de linha	$\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$	Trabalho ao longo de curva
Campo conservativo	$\int_C\nabla f\cdot d\mathbf{r} = \Delta f$	$\nabla\times\mathbf{F}=0$
Green	$\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D(Q_x-P_y)\,dA$	Curva fechada plana
Stokes	$\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$	Fronteira de superfície
Gauss	$\oiint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$	Superfície fechada

Problemas do Workshop

Example— 1· W1 — Integral de Basel por integral dupla

Prove que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ usando $\iint_{[0,1]^2}\frac{1}{1-xy}\,dA$ .

Expandindo: $\dfrac{1}{1-xy} = \sum_{n=0}^\infty (xy)^n$ . Integrando termo a termo:

$\iint_{[0,1]^2}\sum_{n=0}^\infty(xy)^n\,dA = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}.$

Por outro lado, a mudança de variáveis $u = (x+y)/2$ , $v = (y-x)/2$ transforma o quadrado em dois triângulos e a integral resulta em $\pi^2/6$ (cálculo detalhado envolve $\arcsin$ ).

Conclusão: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ .

Example— 2· W2 — Campo coulombiano e lei de Gauss

Calcule $\oiint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}$ onde $\mathbf{E} = \mathbf{r}/|\mathbf{r}|^3$ e $S$ é qualquer superfície fechada que contém a origem.

Estratégia: $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$ para $\mathbf{r}\neq 0$ . Considere $E' = E\setminus B_\epsilon(0)$ (bola pequena removida). Por Gauss em $E'$ :

$\oiint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} - \oiint_{S_\epsilon}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{E'}\nabla\cdot\mathbf{E}\,dV = 0.$

Na esfera $S_\epsilon$ ( $\rho=\epsilon$ ): $\mathbf{E}\cdot\hat{n} = \epsilon/\epsilon^3 = 1/\epsilon^2$ , área $= 4\pi\epsilon^2$ :

$\oiint_{S_\epsilon}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\epsilon^2}\cdot 4\pi\epsilon^2 = 4\pi.$

Conclusão: $\oiint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = 4\pi$ — lei de Gauss com $Q = 1$ .

Example— 3· W3 — Momento de inércia em coordenadas esféricas

Calcule $I_z = \iiint_{x^2+y^2+z^2\leq a^2}(x^2+y^2)\delta\,dV$ para bola uniforme de densidade $\delta$ .

Em esféricas: $x^2+y^2 = \rho^2\sin^2\phi$ .

$I_z = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi\!\int_0^a\rho^2\sin^2\phi\cdot\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$

$= 2\pi\delta\cdot\frac{a^5}{5}\int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi = 2\pi\delta\cdot\frac{a^5}{5}\cdot\frac{4}{3} = \frac{8\pi\delta a^5}{15}$ .

Com $m = \frac{4\pi\delta a^3}{3}$ : $I_z = \frac{2}{5}ma^2$ — resultado clássico.

To continue

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §15–16 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 3, §1–7 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §11–12 — Wiley, 2ª ed.
Marsden, J. & Tromba, A. — Vector Calculus, §5–8 — Freeman, 6ª ed.
OpenStax — Calculus Volume 3, §5–6 — openstax.org

Workshop U4 — Cálculo Vetorial e Integrais Múltiplas

Resumo das técnicas da Unidade 4

Problemas do Workshop

Exercícios do Workshop

Série A — Integrais múltiplas avançadas

Série B — Cálculo vetorial

Série C — Nível ITA/USP

To continue