Lição 1 — Funções de Várias Variáveis

Espaço Rⁿ e topologia básica

Espaço Rⁿ

$\mathbb{R}^n = \{(x_1,\ldots,x_n)\mid x_i\in\mathbb{R}\}$ com norma euclidiana $\|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$ e produto interno $\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum x_i y_i$.

Distância: $d(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|$.

Topologia básica

• Bola aberta: $B_r(\mathbf{a}) = \{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\mid\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\| < r\}$.
• Conjunto aberto: $A$ tal que todo $\mathbf{a}\in A$ tem $B_r(\mathbf{a})\subset A$ para algum $r>0$.
• Conjunto fechado: complementar de aberto (contém todos os seus pontos de acumulação).
• Compacto em $\mathbb{R}^n$: limitado e fechado (Teorema de Heine-Borel).
• Conexo: não pode ser escrito como união disjunta de dois abertos não-vazios.

Funções de várias variáveis

$f: D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. O domínio natural é o maior $D$ onde $f$ está definida.

Gráfico: $\text{graf}(f) = \{(x,y,f(x,y))\mid(x,y)\in D\}\subset\mathbb{R}^3$ (para $n=2$).

Curva de nível: $C_k = \{(x,y)\in D\mid f(x,y) = k\}$ (análoga às isóbaras num mapa meteorológico).

Superfície de nível: $S_k = \{(x,y,z)\in D\mid f(x,y,z) = k\}$ (para $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$).