Lição 2 — Limites e Continuidade em Rⁿ

Definição e propriedades

Definição (epsilon-delta)

$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y) = L \iff \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\;0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\Rightarrow|f(x,y)-L|<\varepsilon$

O ponto $(a,b)$ pode não pertencer ao domínio; importa o comportamento próximo a ele.

Propriedades (mesmas do caso 1D)

Se $\lim f = L$ e $\lim g = M$: linearidade, produto, quociente ($M\neq 0$), composição.

Limites por caminhos (método para demonstrar não-existência)

Se $f$ tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes que levam a $(a,b)$, então o limite não existe.

Caminhos típicos a testar: $y=0$, $x=0$, $y=mx$, $y=x^2$, $x = r\cos t$, $y = r\sin t$.

Continuidade

$f$ é contínua em $(a,b)\in D$ se $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y) = f(a,b)$.

Funções elementares (polinômios, racionais, trig, exp, log, composições) são contínuas em seus domínios.

Teorema do Confronto (Squeeze)

Se $g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)$ perto de $(a,b)$ e $\lim g = \lim h = L$, então $\lim f = L$.