Lição 3 — Derivadas Parciais

Definição e notação

Definição

$f_x(a,b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$

$f_y(a,b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{k\to 0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$

Notação equivalente

$f_x = \partial_x f = D_x f = \frac{\partial f}{\partial x} = D_1 f$

Interpretação geométrica

$f_x(a,b)$ é a inclinação da curva obtida cortando o gráfico de $f$ com o plano $y = b$ — "taxa de variação de $f$ na direção $x$, mantendo $y$ fixo".

Derivadas de ordem superior

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x},\quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

Teorema de Clairaut (Schwarz): se $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são contínuas em $(a,b)$, então $f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b)$.

Equações de Laplace, calor e onda

Funções satisfazendo Laplace são chamadas harmônicas.