Lição 4 — Diferenciabilidade e Plano Tangente

Definição de diferenciabilidade

Diferenciabilidade

$f: D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ é diferenciável em $(a,b)\in D$ se existem $f_x(a,b)$, $f_y(a,b)$ e:

$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x(a,b)h-f_y(a,b)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$

Equivalentemente: $f(a+h,b+k) = f(a,b) + f_x h + f_y k + o(\|(h,k)\|)$.

Plano tangente

Se $f$ é diferenciável em $(a,b)$, o plano tangente ao gráfico de $f$ em $(a,b,f(a,b))$ é:

$z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$

Diferencial total

$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

A diferencial $df$ é uma função linear que aproxima $\Delta f = f(a+dx,b+dy)-f(a,b)$.

Teorema C¹ ⟹ diferenciável

Se $f_x$ e $f_y$ existem e são contínuas em vizinhança de $(a,b)$, então $f$ é diferenciável em $(a,b)$.

(A recíproca é falsa: pode-se ser diferenciável sem ser C¹.)

Propagação de erros

Se $f = f(x,y)$ e $x,y$ têm incertezas $\Delta x,\Delta y$: $|\Delta f| \approx |df| \leq |f_x|\,|\Delta x| + |f_y|\,|\Delta y|$