Lição 5 — Regra da Cadeia para Várias Variáveis

Casos da regra da cadeia

Caso 1: $z = f(x,y)$, $x = x(t)$, $y = y(t)$

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

(Requer $f$ diferenciável e $x,y$ deriváveis.)

Caso 2: $z = f(x,y)$, $x = x(s,t)$, $y = y(s,t)$

$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s};\quad \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

Caso geral: $\mathbf{z} = f(\mathbf{x}(\mathbf{t}))$, $\mathbf{x}:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$, $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$

$\frac{\partial f}{\partial t_j} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j}$

(Produto de matrizes jacobianas: $Df = \nabla f\cdot J_{\mathbf{x}}$.)

Derivação implícita via regra da cadeia

Se $F(x,y) = 0$ define $y = y(x)$ implicitamente:

$F_x + F_y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$

Se $F(x,y,z) = 0$ define $z = z(x,y)$:

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z};\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$