Lição 6 — Derivadas Direcionais e Gradiente

Definição e propriedades do gradiente

Derivada direcional

Para $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ unitário ($\|\mathbf{u}\|=1$):

$D_\mathbf{u}f(\mathbf{a}) = \lim_{h\to 0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{u})-f(\mathbf{a})}{h}$

Se $f$ é diferenciável: $D_\mathbf{u}f(\mathbf{a}) = \nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u} = f_x u_1 + f_y u_2 + f_z u_3$.

Gradiente

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$

Propriedades:

• $\nabla(f+g) = \nabla f + \nabla g$ (linearidade)
• $\nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f$ (produto)
• $\nabla(f/g) = (g\nabla f - f\nabla g)/g^2$

Direção de máximo/mínimo crescimento

$D_\mathbf{u}f = \|\nabla f\|\cos\theta$ (onde $\theta$ é o ângulo entre $\nabla f$ e $\mathbf{u}$).

• Máximo: $D_\mathbf{u}f = \|\nabla f\|$ quando $\mathbf{u} = \nabla f/\|\nabla f\|$ (direção do gradiente).
• Mínimo: $D_\mathbf{u}f = -\|\nabla f\|$ quando $\mathbf{u} = -\nabla f/\|\nabla f\|$ (anti-gradiente).
• Zero: quando $\mathbf{u}\perp\nabla f$ (tangente à superfície de nível).

Gradiente ⊥ superfície de nível

$\nabla f(\mathbf{a})$ é perpendicular à superfície de nível $f = c$ que passa por $\mathbf{a}$.

Plano tangente à superfície $F(x,y,z)=0$ em $(x_0,y_0,z_0)$: $F_x(x-x_0) + F_y(y-y_0) + F_z(z-z_0) = 0$