v1 · padrão canônico

Lição 7 — Derivadas de Ordem Superior e Clairaut

Derivadas parciais de ordem superior, Teorema de Schwarz-Clairaut, Laplaciano em coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas; operador biharmônico.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 1 · USP MAT0216 · ITA MA-013

\Delta f = \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2};\quad f_{xy}=f_{yx}\;\text{(Clairaut, se } f_{xy},f_{yx}\in C^0\text{)}

O Laplaciano $\Delta$ aparece na equação de calor, onda e Laplace. O Teorema de Clairaut (Schwarz) garante que a ordem de derivação não importa para funções $C^2$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Derivadas superiores e operadores

Notação multi-índice

Para derivada de ordem $|\alpha| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n$ com $\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ : $D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}$

Teorema de Clairaut (Schwarz)

Se $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são contínuas numa vizinhança de $(a,b)$ , então $f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b)$ .

Consequência: para $f\in C^k$ (derivadas de ordem $k$ contínuas), a ordem de derivação é irrelevante.

Laplaciano

$\Delta f = \nabla\cdot\nabla f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}$

Em polares ( $n=2$ ): $\Delta f = f_{rr} + \dfrac{1}{r}f_r + \dfrac{1}{r^2}f_{\theta\theta}$

Em cilíndricas ( $n=3$ ): $\Delta f = f_{rr} + \dfrac{1}{r}f_r + \dfrac{1}{r^2}f_{\theta\theta} + f_{zz}$

Em esféricas ( $n=3$ ): $\Delta f = \dfrac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho^2 f_\rho) + \dfrac{1}{\rho^2\sin\phi}\frac{\partial}{\partial\phi}(\sin\phi\, f_\phi) + \dfrac{1}{\rho^2\sin^2\phi}f_{\theta\theta}$

Operadores de 2ª ordem (equações da física)

Operador	Equação	Física
$\Delta u = 0$	Laplace	Potencial estático
$u_t = \kappa\Delta u$	Calor/difusão	Temperatura transiente
$u_{tt} = c^2\Delta u$	Onda	Vibração, som
$\Delta^2 u = q/D$	Biharmônica	Placa de Kirchhoff

Exemplos resolvidos

Example— 2· Ex. 2 — Laplaciano em polares

Verifique que $u(r,\theta) = r^n\cos(n\theta)$ é harmônica.

$u_r = nr^{n-1}\cos(n\theta)$ ; $u_{rr} = n(n-1)r^{n-2}\cos(n\theta)$ .

$u_\theta = -nr^n\sin(n\theta)$ ; $u_{\theta\theta} = -n^2r^n\cos(n\theta)$ .

$\Delta u = n(n-1)r^{n-2}\cos(n\theta) + \frac{1}{r}\cdot nr^{n-1}\cos(n\theta) + \frac{1}{r^2}(-n^2 r^n\cos(n\theta))$

$= r^{n-2}\cos(n\theta)[n(n-1)+n-n^2] = r^{n-2}\cos(n\theta)\cdot 0 = 0$ . $\checkmark$

To continue

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §14.3 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §2.9–2.11 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §6.9–6.12 — Wiley, 2ª ed.
Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, §10.4, §12.3 — Wiley, 10ª ed.
Strauss, W.A. — Partial Differential Equations, §1.2–1.3 — Wiley, 2ª ed.