Lição 8 — Funções de Rⁿ → Rᵐ e o Jacobiano

Diferenciabilidade de funções vetoriais

Definição

$\mathbf{f}: D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ é diferenciável em $\mathbf{a}\in D$ se existe transformação linear $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ tal que: $\lim_{\mathbf{h}\to\mathbf{0}}\frac{\|\mathbf{f}(\mathbf{a}+\mathbf{h})-\mathbf{f}(\mathbf{a})-L(\mathbf{h})\|}{\|\mathbf{h}\|} = 0$

$L$ é única e chamada diferencial de $\mathbf{f}$ em $\mathbf{a}$: $L = D\mathbf{f}(\mathbf{a})$.

Matriz jacobiana

A matriz de $L$ (na base canônica) é a jacobiana: $J_\mathbf{f}(\mathbf{a}) = \begin{pmatrix}\partial f_1/\partial x_1(\mathbf{a}) & \cdots & \partial f_1/\partial x_n(\mathbf{a})\\\vdots & \ddots & \vdots\\\partial f_m/\partial x_1(\mathbf{a}) & \cdots & \partial f_m/\partial x_n(\mathbf{a})\end{pmatrix}$

Casos especiais:

• $m=1$: $J_f = \nabla^T f$ (gradiente transposto).
• $n=m$: $J_\mathbf{f}$ é quadrada; $|\det J_\mathbf{f}|$ é o fator de escala de volume (mudança de variáveis).
• $n=1$: $J_\mathbf{f} = \mathbf{f}'(t)$ (derivada de curva paramétrica — coluna).

Regra da cadeia (matricial)

Se $\mathbf{g}:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$ e $\mathbf{f}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, e $\mathbf{h} = \mathbf{f}\circ\mathbf{g}$: $D\mathbf{h}(\mathbf{a}) = D\mathbf{f}(\mathbf{g}(\mathbf{a}))\cdot D\mathbf{g}(\mathbf{a}) \quad (m\times n)\cdot(n\times p) = (m\times p)$

Determinante jacobiano e mudança de variáveis

Para $\mathbf{f}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ bijetora e diferenciável: $\int_{\mathbf{f}(D)} g(\mathbf{y})\,d\mathbf{y} = \int_D g(\mathbf{f}(\mathbf{x}))|\det J_\mathbf{f}(\mathbf{x})|\,d\mathbf{x}$