Lição 9 — Funções Implícitas e o Teorema da Função Implícita

Enunciado e prova esquemática do TFI

Caso escalar: $F: U\subset\mathbb{R}^{n+1}\to\mathbb{R}$

Teorema da Função Implícita (TFI). Seja $F: U\subset\mathbb{R}^{n+1}\to\mathbb{R}$ de classe $C^1$ num aberto $U$. Seja $(x_0, y_0)\in U$ com $F(x_0,y_0) = 0$ e $\dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$.

Então existem abertos $V\subset\mathbb{R}^n$ com $x_0\in V$ e $W\subset\mathbb{R}$ com $y_0\in W$, e uma função $g: V\to W$ de classe $C^1$, tal que: $\{(x,y)\in V\times W : F(x,y) = 0\} = \{(x,g(x)) : x\in V\}$

e para cada $i = 1,\ldots,n$: $\frac{\partial g}{\partial x_i}(x) = -\frac{\partial F/\partial x_i(x,g(x))}{\partial F/\partial y(x,g(x))}$

Ideia da prova: aplica-se o Teorema da Função Inversa à função $(x,y)\mapsto(x, F(x,y))$. O jacobiano dessa função tem determinante $\partial F/\partial y \neq 0$, logo é invertível localmente.

Caso vetorial: $F: \mathbb{R}^{n+m}\to\mathbb{R}^m$

Escreva $F(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{0}$ com $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$, $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^m$.

Se $F(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)=\mathbf{0}$ e o jacobiano parcial $\dfrac{\partial F}{\partial \mathbf{y}}(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)$ ($m\times m$) é invertível, então existe $g: V\to\mathbb{R}^m$ de classe $C^1$ com $\mathbf{y}_0 = g(\mathbf{x}_0)$ e:

$D_\mathbf{x}g = -\left(\frac{\partial F}{\partial \mathbf{y}}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}$

(produto de matrizes $m\times m$ com $m\times n$ → resultado $m\times n$).

Derivação implícita em $\mathbb{R}^3$

Para $F(x,y,z)=0$ definindo $z = z(x,y)$: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}\quad (F_z\neq 0)$