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Workshop U1 — Funções de Várias Variáveis e Diferenciação

Workshop de integração da Unidade 1: problemas que combinam limites, continuidade, derivadas parciais, gradiente, Jacobiano e Teorema da Função Implícita com aplicações em engenharia.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 1 · USP MAT0216 · ITA MA-013

\nabla f \perp \{f = c\};\quad D_{\mathbf{u}}f = \nabla f\cdot\mathbf{u};\quad Df = J_f;\quad \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} = -\left(J_{\mathbf{y}}F\right)^{-1}J_{\mathbf{x}}F

Workshop que unifica: o gradiente é perpendicular às curvas/superfícies de nível, a derivada direcional é um produto interno, o diferencial de $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ é o Jacobiano, e a derivação implícita generaliza via TFI.

Problemas integrados

Problema 1 — Limites e continuidade

Problema 2 — Diferenciabilidade e gradiente

Example— 2· P2 — Gradiente em problema de otimização de temperatura

A temperatura numa placa metálica é $T(x,y) = 100e^{-(x^2+y^2)/4}$ (°C). Um objeto está em $(2,0)$ .

(a) Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente?

$T_x = -\dfrac{x}{2}T$ ; $T_y = -\dfrac{y}{2}T$ .

Em $(2,0)$ : $T = 100e^{-1}$ . $\nabla T = (-T, 0) = (-100e^{-1}, 0)$ .

Máximo crescimento: direção $-\mathbf{e}_x = (-1,0)$ (em direção à origem).

(b) Taxa de variação na direção de $(1,1)/\sqrt{2}$ :

$D_\mathbf{u}T = \nabla T\cdot(1,1)/\sqrt{2} = -100e^{-1}/\sqrt{2} \approx -26{,}0$ °C/m.

(c) A isoterma $T = 100e^{-1}$ é a curva $x^2+y^2 = 4$ — circunferência de raio 2. O gradiente, em $(2,0)$ , aponta para o centro: $(-1,0)$ , perpendicular à circunferência. $\checkmark$

Problema 3 — Regra da cadeia e mudança de coordenadas

Example— 3· P3 — Equação de onda em coordenadas características

Use $\xi = x+ct$ , $\eta = x-ct$ para transformar $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ .

Cadeia: $u_x = u_\xi\xi_x + u_\eta\eta_x = u_\xi + u_\eta$ .

$u_{xx} = u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}$ .

$u_t = u_\xi c - u_\eta c = c(u_\xi - u_\eta)$ .

$u_{tt} = c^2(u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})$ .

Substituindo: $c^2(u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}) = c^2(u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})$ .

$-4c^2 u_{\xi\eta} = 0 \Rightarrow u_{\xi\eta} = 0$ .

Solução geral: $u = f(\xi) + g(\eta) = f(x+ct) + g(x-ct)$ — fórmula de d'Alembert.

Problema 4 — Jacobiano e mudança de variáveis

Example— 4· P4 — Jacobiano de coordenadas esféricas

Calcule o Jacobiano da transformação esférica $(\rho,\phi,\theta)\mapsto(x,y,z)$ :

$x = \rho\sin\phi\cos\theta$ , $y = \rho\sin\phi\sin\theta$ , $z = \rho\cos\phi$ .

$J = \det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)} = \det\begin{pmatrix}\sin\phi\cos\theta & \rho\cos\phi\cos\theta & -\rho\sin\phi\sin\theta\\\sin\phi\sin\theta & \rho\cos\phi\sin\theta & \rho\sin\phi\cos\theta\\\cos\phi & -\rho\sin\phi & 0\end{pmatrix}$

Expandindo pela 3ª linha:

$J = \cos\phi[\rho^2\cos\phi\sin\phi\cos^2\theta + \rho^2\cos\phi\sin\phi\sin^2\theta] + \rho\sin\phi[\rho\sin^2\phi\cos^2\theta+\rho\sin^2\phi\sin^2\theta]$

$= \cos\phi\cdot\rho^2\cos\phi\sin\phi + \rho\sin\phi\cdot\rho\sin^2\phi = \rho^2\sin\phi(\cos^2\phi+\sin^2\phi) = \rho^2\sin\phi$ .

Resultado: $dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ — o elemento de volume em esféricas.

Problema 5 — TFI e singularidades

Example— 5· P5 — Onde o TFI falha: nós e cúspides

Analise a curva $F(x,y) = y^2 - x^2(x+1) = 0$ (cissóide modificada).

$F_x = -x(3+2... ) = -3x^2-2x$ ; $F_y = 2y$ .

Em $(0,0)$ : $F(0,0) = 0$ , $F_x(0,0) = 0$ , $F_y(0,0) = 0$ . O gradiente é zero.

$\nabla F = (0,0)$ : o TFI não se aplica — ponto singular (nó da curva: dois ramos passam por $(0,0)$ ).

Em $(1,\sqrt{2})$ : $F_y = 2\sqrt{2}\neq 0$ . O TFI garante $y = g(x)$ localmente.

$dy/dx = -F_x/F_y = -(−3-2)/(2\sqrt{2}) = 5/(2\sqrt{2})$ .

Lição: pontos singulares de curvas implícitas são exatamente onde $\nabla F = \mathbf{0}$ — o TFI é o critério de regularidade.

Conceito	Resultado central	Aplicação
Limites em $\mathbb{R}^n$	Limites direcionais necessários, mas não suficientes	Verificar continuidade
Derivadas parciais	$f_x = \partial f/\partial x$ fixando as demais	Base para todos os operadores
Diferenciabilidade	$f(a+h) = f(a)+\nabla f(a)\cdot h + o(\\|h\\|)$	Linearização, propagação de erros
Regra da cadeia	$D(f\circ g) = Df\cdot Dg$ (produto de jacobianos)	Mudança de coordenadas, backprop
Gradiente	$\nabla f$ aponta no máximo crescimento, $\perp$ nível	Otimização, equações do plano
Derivadas superiores	Ordem livre por Clairaut se $f\in C^2$	Laplaciano, equações da física
Jacobiano	$[Df]_{ij} = \partial f_i/\partial x_j$	Mudança de variáveis, robótica
TFI	$F_y\neq 0 \Rightarrow y = g(x)$ localmente	Sistemas implícitos, singularidades

To continue

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §14.1–14.6 (revisão) — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §1–4 (revisão) — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §2–7 (revisão) — Wiley, 2ª ed.
Lima, E.L. — Análise no Espaço Rⁿ, §1–5 — IMPA, 3ª ed.
Marsden, J. & Tromba, A. — Vector Calculus, §2–3 — Freeman, 6ª ed.
Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, §9.7–9.8 — Wiley, 10ª ed.

Workshop U1 — Funções de Várias Variáveis e Diferenciação

Problemas integrados

Problema 1 — Limites e continuidade

Problema 2 — Diferenciabilidade e gradiente

Problema 3 — Regra da cadeia e mudança de coordenadas

Problema 4 — Jacobiano e mudança de variáveis

Problema 5 — TFI e singularidades

Exercícios de revisão integrada

Bloco A — Cálculo direto

Bloco B — Aplicações

Bloco C — Nível ITA/USP

Síntese da Unidade 1

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