Lição 11 — Extremos Livres e a Hessiana

Critério da Hessiana — teoria completa

Pontos críticos

$\mathbf{a}$ é ponto crítico de $f: U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ se $\nabla f(\mathbf{a}) = \mathbf{0}$ (ou $\nabla f$ não existe em $\mathbf{a}$).

Hessiana

$H_f(\mathbf{a}) = \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\mathbf{a})\right]_{i,j=1}^n$

Por Clairaut, $H_f$ é simétrica se $f\in C^2$. Seus autovalores $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{R}$.

Critério dos autovalores (caso geral)

Se $\nabla f(\mathbf{a}) = \mathbf{0}$ e $H_f(\mathbf{a})$ é:

• Definida positiva ($\lambda_i > 0$ para todo $i$): $\mathbf{a}$ é mínimo local.
• Definida negativa ($\lambda_i < 0$ para todo $i$): $\mathbf{a}$ é máximo local.
• Indefinida (autovalores de sinais distintos): $\mathbf{a}$ é ponto de sela.
• Semidefinida ($\det H = 0$): teste inconclusivo.

Caso $n=2$ — critério prático

$D = \det H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$.

• $D > 0$, $f_{xx} > 0$: mínimo local.
• $D > 0$, $f_{xx} < 0$: máximo local.
• $D < 0$: sela.
• $D = 0$: inconclusivo.

Critérios de Sylvester (minores principais)

$H_f > 0$ (def. positiva) $\Leftrightarrow$ todos os minores principais lideres $\Delta_k > 0$: $\Delta_1 = f_{x_1x_1} > 0,\quad \Delta_2 = \det\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{pmatrix} > 0,\ldots,\quad \Delta_n = \det H > 0$

Expansão de Taylor de 2ª ordem

$f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{h} + \tfrac{1}{2}\mathbf{h}^T H_f(\mathbf{a})\mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|^2)$

No ponto crítico ($\nabla f = 0$): $f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) - f(\mathbf{a}) \approx \tfrac{1}{2}\mathbf{h}^T H_f \mathbf{h}$ — forma quadrática determina o comportamento.