Lição 12 — Extremos Globais em Conjuntos Compactos

Teorema de Weierstrass e método de comparação

Teorema de Weierstrass

Se $K\subset\mathbb{R}^n$ é compacto (fechado e limitado) e $f: K\to\mathbb{R}$ é contínua, então $f$ atinge seu máximo e mínimo em $K$: $\exists\,\mathbf{a},\mathbf{b}\in K:\quad f(\mathbf{a}) \leq f(\mathbf{x}) \leq f(\mathbf{b})\quad\forall\,\mathbf{x}\in K$

Prova (esquema): $K$ compacto $\Rightarrow$ toda sequência em $K$ tem subsequência convergente em $K$. $\sup f(K)$ é atingido por compacidade da imagem.

Método para extremos globais em $K$ compacto

1. Interior: encontre $\mathbf{c}\in\text{int}(K)$ com $\nabla f(\mathbf{c}) = \mathbf{0}$.
2. Fronteira $\partial K$: restrinja $f$ a cada face/aresta da fronteira e otimize (possivelmente via multiplicadores de Lagrange ou parametrização).
3. Compare todos os valores: $\max K = \max\{f(\mathbf{c}_i)\}\cup\{f|_{\partial K}\}$.

Fronteira parametrizada

Se $\partial K = \{\mathbf{r}(t) : t\in[a,b]\}$, substitua em $f$ e maximize $g(t) = f(\mathbf{r}(t))$ — problema de uma variável.

Fronteira via restrição

Se $\partial K = \{F(\mathbf{x}) = 0\}$, use multiplicadores de Lagrange (L13).