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Lição 12 — Extremos Globais em Conjuntos Compactos

Teorema de Weierstrass para funções contínuas em compactos, método de comparação de valores críticos interiores com o comportamento na fronteira, otimização em regiões fechadas e limitadas.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 2 · USP MAT0216 · ITA MA-013

\max_{K}f = \max\!\left\{f(\mathbf{c}_i),\;\max_{\partial K}f\right\};\quad K\text{ compacto},\;f\in C^0(K)\Rightarrow \exists\max,\min

Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em compacto (fechado e limitado) sempre atinge máximo e mínimo. O valor ocorre ou num ponto crítico interior, ou na fronteira.

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Teorema de Weierstrass e método de comparação

Teorema de Weierstrass

Se $K\subset\mathbb{R}^n$ é compacto (fechado e limitado) e $f: K\to\mathbb{R}$ é contínua, então $f$ atinge seu máximo e mínimo em $K$ : $\exists\,\mathbf{a},\mathbf{b}\in K:\quad f(\mathbf{a}) \leq f(\mathbf{x}) \leq f(\mathbf{b})\quad\forall\,\mathbf{x}\in K$

Prova (esquema): $K$ compacto $\Rightarrow$ toda sequência em $K$ tem subsequência convergente em $K$ . $\sup f(K)$ é atingido por compacidade da imagem.

Método para extremos globais em $K$ compacto

Interior: encontre $\mathbf{c}\in\text{int}(K)$ com $\nabla f(\mathbf{c}) = \mathbf{0}$ .
Fronteira $\partial K$ : restrinja $f$ a cada face/aresta da fronteira e otimize (possivelmente via multiplicadores de Lagrange ou parametrização).
Compare todos os valores: $\max K = \max\{f(\mathbf{c}_i)\}\cup\{f|_{\partial K}\}$ .

Fronteira parametrizada

Se $\partial K = \{\mathbf{r}(t) : t\in[a,b]\}$ , substitua em $f$ e maximize $g(t) = f(\mathbf{r}(t))$ — problema de uma variável.

Fronteira via restrição

Se $\partial K = \{F(\mathbf{x}) = 0\}$ , use multiplicadores de Lagrange (L13).

Exemplos resolvidos

Example— 1· Ex. 1 — Máximo e mínimo no retângulo

$f(x,y) = x^2-2xy+2y$ em $R = [0,3]\times[0,2]$ .

Interior: $f_x = 2x-2y = 0$ , $f_y = -2x+2 = 0 \Rightarrow x=1, y=1$ .

$f(1,1) = 1-2+2 = 1$ .

Fronteira:

$x=0$ : $f = 2y$ , máx em $y=2$ : $f=4$ ; mín em $y=0$ : $f=0$ .
$x=3$ : $f = 9-6y+2y = 9-4y$ , máx em $y=0$ : $f=9$ ; mín em $y=2$ : $f=1$ .
$y=0$ : $f = x^2$ , máx em $x=3$ : $f=9$ ; mín em $x=0$ : $f=0$ .
$y=2$ : $f = x^2-4x+4 = (x-2)^2$ , máx em $x=0$ ou $3$ : $f=4$ ; mín em $x=2$ : $f=0$ .

Máximo global: $f = 9$ nos cantos $(3,0)$ . Mínimo global: $f = 0$ em $(0,0)$ , $(2,2)$ .

Example— 3· Ex. 3 — Problema de embalagem

Uma caixa retangular sem tampa tem volume $V = 32\,\text{m}^3$ . Minimize a área total de material $S = xy + 2xz + 2yz$ sujeito a $xyz = 32$ (resolvendo por substituição).

De $z = 32/(xy)$ : $S = xy + 64/y + 64/x$ .

$S_x = y - 64/x^2 = 0 \Rightarrow x^2y = 64$ . $S_y = x - 64/y^2 = 0 \Rightarrow xy^2 = 64$ .

Dividindo: $x/y = y/x \Rightarrow x = y$ . Então $x^3 = 64 \Rightarrow x = y = 4$ , $z = 2$ .

$S(4,4,2) = 16+32+32 = 80\,\text{m}^2$ .

Hessiana (em $S$ com $x,y$ livres): $D = (128/x^3)(128/y^3)-(1)^2 > 0$ , $S_{xx}>0$ : mínimo. $\checkmark$

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Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §14.7 — Cengage, 8ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §5.1–5.2 — LTC, 5ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §9.3–9.4 — Wiley, 2ª ed.
Thomas, G.B. — Cálculo, vol. 2, §14.7 — Pearson, 14ª ed.
Lima, E.L. — Análise no Espaço Rⁿ, §6 — IMPA, 3ª ed.

Lição 12 — Extremos Globais em Conjuntos Compactos

Teorema de Weierstrass e método de comparação

Teorema de Weierstrass

Método para extremos globais em $K$ compacto

Fronteira parametrizada

Fronteira via restrição

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Extremos em regiões fechadas

Bloco B — Problemas de otimização aplicada

Bloco C — Nível ITA/USP

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