Lição 13 — Multiplicadores de Lagrange — Uma Restrição

Teorema de Lagrange e condições necessárias

Enunciado

Seja $f, g: U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ de classe $C^1$. Se $\mathbf{x}^*$ é extremo de $f$ restrito à superfície $S = \{g(\mathbf{x})=0\}$, e $\nabla g(\mathbf{x}^*)\neq\mathbf{0}$ (ponto regular da restrição), então existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que:

$\nabla f(\mathbf{x}^*) = \lambda\,\nabla g(\mathbf{x}^*)$

Prova (esboço): em $\mathbf{x}^*$, qualquer direção tangente $\mathbf{v}$ à superfície ($\nabla g\cdot\mathbf{v} = 0$) deve satisfazer $\nabla f\cdot\mathbf{v} = 0$ (caso contrário $f$ poderia aumentar/diminuir ao longo de $S$). Logo $\nabla f \perp T_{\mathbf{x}^*}S$, e como $\nabla g$ também é normal a $S$, eles são paralelos.

Sistema de equações

Para otimizar $f(x_1,\ldots,x_n)$ com $g(x_1,\ldots,x_n) = 0$, resolva as $n+1$ equações:

$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lambda\frac{\partial g}{\partial x_i},\quad i=1,\ldots,n;\qquad g(\mathbf{x}) = 0$

nas $n+1$ incógnitas $x_1,\ldots,x_n,\lambda$.

Interpretação do multiplicador

$\lambda = \dfrac{\partial f^*}{\partial c}$ onde $f^* = \max\{f : g(\mathbf{x}) = c\}$: o multiplicador mede quanto o ótimo muda ao relaxar a restrição $g = 0$ para $g = c$.

Lagrangiano

$\mathcal{L}(x_1,\ldots,x_n,\lambda) = f(x_1,\ldots,x_n) - \lambda\, g(x_1,\ldots,x_n)$

Pontos críticos de $\mathcal{L}$ em relação a todas as variáveis (incluindo $\lambda$) reproduzem as condições de Lagrange: $\partial\mathcal{L}/\partial x_i = 0$ e $\partial\mathcal{L}/\partial\lambda = -g = 0$.