Lição 14 — Lagrange com Múltiplas Restrições e Aplicações

Caso geral com m restrições

Teorema de Lagrange (caso geral)

Seja $f: U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ e $g_i: U\to\mathbb{R}$ ($i=1,\ldots,m$) de classe $C^1$, com $m < n$.

Se $\mathbf{x}^*$ é extremo condicionado de $f$ sobre $M = \{g_1 = 0,\ldots, g_m = 0\}$, e os gradientes $\nabla g_1(\mathbf{x}^*),\ldots,\nabla g_m(\mathbf{x}^*)$ são linearmente independentes, então existem $\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in\mathbb{R}$ tais que:

$\nabla f(\mathbf{x}^*) = \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i(\mathbf{x}^*)$

Lagrangiano generalizado

$\mathcal{L}(\mathbf{x},\boldsymbol{\lambda}) = f(\mathbf{x}) - \sum_{i=1}^m\lambda_i g_i(\mathbf{x})$

Equações de otimalidade: $\nabla_\mathbf{x}\mathcal{L} = 0$ e $g_i(\mathbf{x}) = 0$ para $i=1,\ldots,m$.

Isso gera $n+m$ equações para $n+m$ incógnitas $(\mathbf{x},\boldsymbol{\lambda})$.

Condições KKT (restrições de desigualdade)

Para $f(\mathbf{x})\to\min$ com $g_i(\mathbf{x})\leq 0$ ($i=1,\ldots,m$) e $h_j(\mathbf{x})=0$ ($j=1,\ldots,p$):

$\nabla f = \sum\lambda_i\nabla g_i + \sum\mu_j\nabla h_j;\qquad \lambda_i\geq 0;\qquad \lambda_i g_i(\mathbf{x}^*) = 0$

A condição $\lambda_i g_i = 0$ é a complementaridade: $\lambda_i > 0$ somente se $g_i = 0$ (restrição ativa).