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Lição 15 — Teorema da Função Implícita — Enunciado Completo

TFI em sua forma completa: sistemas F(x,y)=0 com F:Rⁿ⁺ᵐ→Rᵐ, condição de jacobiano invertível, unicidade, classe de diferenciabilidade e relação com subvariedades suaves.

Usado em: Cálculo 3 — Unidade 2 · USP MAT0216 · ITA MA-013

F(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)=\mathbf{0},\;\det\!\left(\tfrac{\partial F}{\partial \mathbf{y}}\right)\!\neq 0\;\Rightarrow\;\mathbf{y}=g(\mathbf{x})\;\text{localmente};\quad Dg = -\!\left(\tfrac{\partial F}{\partial\mathbf{y}}\right)^{-1}\!\!\tfrac{\partial F}{\partial\mathbf{x}}

O TFI garante a existência e unicidade de $\mathbf{y}=g(\mathbf{x})$ numa vizinhança de $(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)$ quando o jacobiano parcial em $\mathbf{y}$ é invertível. A derivada de $g$ é dada por uma fórmula explícita em termos dos jacobianos de $F$ .

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Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

TFI — versão completa com prova

Enunciado

Sejam $U\subset\mathbb{R}^{n+m}$ aberto, $F: U\to\mathbb{R}^m$ de classe $C^k$ ( $k\geq 1$ ), e $(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)\in U$ com:

$F(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0) = \mathbf{0}$
$J_\mathbf{y}F(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0) = \left[\dfrac{\partial F_i}{\partial y_j}\right]_{m\times m}$ é invertível

Então existem abertos $V\ni\mathbf{x}_0$ em $\mathbb{R}^n$ e $W\ni\mathbf{y}_0$ em $\mathbb{R}^m$ , e uma função $g: V\to W$ de classe $C^k$ , tais que: $F(\mathbf{x},g(\mathbf{x})) = \mathbf{0}\quad\forall\,\mathbf{x}\in V$ e $g$ é a única função com essa propriedade em $V\times W$ .

Além disso: $Dg(\mathbf{x}) = -[J_\mathbf{y}F(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))]^{-1}\,J_\mathbf{x}F(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))$

Prova (via TFInv)

Defina $\Phi: U\to\mathbb{R}^{n+m}$ por $\Phi(\mathbf{x},\mathbf{y}) = (\mathbf{x}, F(\mathbf{x},\mathbf{y}))$ .

$D\Phi = \begin{pmatrix}I_n & 0\\J_\mathbf{x}F & J_\mathbf{y}F\end{pmatrix}$ , $\quad\det D\Phi = \det J_\mathbf{y}F\neq 0$ .

Pelo TFInv, $\Phi$ é um difeomorfismo local. Seja $\Phi^{-1}(\mathbf{x},\mathbf{z}) = (\mathbf{x},h(\mathbf{x},\mathbf{z}))$ . Então $g(\mathbf{x}) = h(\mathbf{x},\mathbf{0})$ é a função implícita. $\square$

TFI e subvariedades

$M = F^{-1}(\mathbf{0})$ é uma subvariedade de classe $C^k$ de $\mathbb{R}^{n+m}$ de dimensão $n$ se e somente se $J_\mathbf{y}F$ tem posto $m$ em todo ponto de $M$ (condição de regularidade).

O espaço tangente em $(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)\in M$ : $T_{(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)}M = \ker DF(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0) = \{(\mathbf{u},\mathbf{v}) : J_\mathbf{x}F\,\mathbf{u} + J_\mathbf{y}F\,\mathbf{v} = \mathbf{0}\}$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Ex. 1 — TFI para sistema 2×2

$F(x,y,u,v) = (u^2-v-x, u+v^2-y) = (0,0)$ . Defina $(u,v)$ como funções de $(x,y)$ perto de $(0,0,0,0)$ .

$F(0,0,0,0) = (0,0)$ . $\checkmark$

$J_{(u,v)}F = \begin{pmatrix}2u & -1\\1 & 2v\end{pmatrix}\bigg|_{(0,0)} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ .

$\det = 0\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 1\neq 0$ . TFI se aplica. $\checkmark$

$Dg = -(J_{(u,v)}F)^{-1}J_{(x,y)}F\bigg|_{(0,0)}$ .

$J_{(x,y)}F = \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ .

$(J_{(u,v)}F)^{-1} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ .

$Dg = -\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ .

Logo: $\partial u/\partial x = 0$ , $\partial u/\partial y = 1$ , $\partial v/\partial x = -1$ , $\partial v/\partial y = 0$ em $(0,0)$ .

Exemplo— 2· Ex. 2 — Variedade de dimensão 1 em R³

$F_1 = x^2+y^2+z^2-14=0$ , $F_2 = x+y+z-6=0$ — interseção de esfera e plano.

Ponto $(1,2,3)$ : $F_1 = 1+4+9-14=0$ $\checkmark$ ; $F_2 = 6-6=0$ $\checkmark$ .

$J_{(y,z)}F = \begin{pmatrix}2y & 2z\\1 & 1\end{pmatrix}\bigg|_{(2,3)} = \begin{pmatrix}4&6\\1&1\end{pmatrix}$ .

$\det = 4-6 = -2\neq 0$ . Logo $(y,z)$ são funções de $x$ perto de $(1,2,3)$ .

$J_{(x)}F = \begin{pmatrix}2x\\1\end{pmatrix}\bigg|_{1} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ .

$Dg = -\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}1&-6\\-1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}2-6\\-2+4\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ .

Vetor tangente: $(1, dy/dx, dz/dx) = (1,-2,1)$ .

(Verificação: $(1,-2,1)\perp(2,4,6)$ (normal de $F_1$ ): $2-8+6=0$ $\checkmark$ ; $(1,-2,1)\perp(1,1,1)$ (normal de $F_2$ ): $1-2+1=0$ $\checkmark$ .)

Exemplo— 3· Ex. 3 — Ponto singular

$F(x,y) = x^3-3x+2-y^2 = 0$ (cúbica suave com nó). Onde o TFI falha?

$F_x = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)$ ; $F_y = -2y$ .

$F_x = F_y = 0 \Rightarrow x=\pm 1$ e $y = 0$ .

Verifique: $F(1,0) = 1-3+2 = 0$ $\checkmark$ ; $F(-1,0) = -1+3+2-0 = 4\neq 0$ .

Portanto $(1,0)$ é ponto singular. Em todos os outros pontos de $F=0$ : ou $F_x\neq 0$ ou $F_y\neq 0$ , e o TFI garante uma das duas funções implícitas.

Em $(1,0)$ : a curva tem um nó (dois ramos se cruzam) — o TFI falha exatamente aqui.

Para continuar

Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §7.8–7.12 — Wiley, 2ª ed.
Lima, E.L. — Análise no Espaço Rⁿ, §5 — IMPA, 3ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §4.4–4.5 — LTC, 5ª ed.
Marsden, J. & Tromba, A. — Vector Calculus, §3.4–3.5 — Freeman, 6ª ed.
Spivak, M. — Calculus on Manifolds, §2–3 — Benjamin/Cummings, 1965.

Lição 15 — Teorema da Função Implícita — Enunciado Completo

TFI — versão completa com prova

Enunciado

Prova (via TFInv)

TFI e subvariedades

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Aplicação do TFI

Bloco B — Subvariedades e espaços tangentes

Bloco C — Nível ITA/USP

Para continuar