v1 · padrão canônico

Lição 16 — Teorema da Função Inversa

Teorema da Função Inversa em Rⁿ: condição jacobiana para invertibilidade local, cálculo da derivada da inversa, relação com o TFI e aplicações em mudança de coordenadas e controle.

Usado em: Cálculo 3 — Unidade 2 · USP MAT0216 · ITA MA-013

\det J_f(\mathbf{a})\neq 0\;\Rightarrow\;f^{-1}\text{ existe localmente};\quad D(f^{-1})(f(\mathbf{a})) = [Df(\mathbf{a})]^{-1}

Se o jacobiano de $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ é invertível em $\mathbf{a}$ , então $f$ é um difeomorfismo local: inversível numa vizinhança de $\mathbf{a}$ . A derivada da inversa é a inversa da derivada (matriz inversa do Jacobiano).

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Enunciado e consequências do Teorema da Função Inversa

Teorema da Função Inversa (TFInv)

Seja $f: U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ de classe $C^k$ ( $k\geq 1$ ) num aberto $U$ , e $\mathbf{a}\in U$ com $\det Jf(\mathbf{a})\neq 0$ .

Então existem abertos $V\ni\mathbf{a}$ e $W\ni f(\mathbf{a})$ tais que $f: V\to W$ é um $C^k$ -difeomorfismo (bijeção com $f$ e $f^{-1}$ de classe $C^k$ ).

Além disso: $D(f^{-1})(\mathbf{y}) = [Df(f^{-1}(\mathbf{y}))]^{-1}\quad\forall\,\mathbf{y}\in W$

Prova (esboço contratível)

Define-se $F(\mathbf{a},\mathbf{y}) = f(\mathbf{a}) - \mathbf{y}$ . A equação $F(\mathbf{x},\mathbf{y}) = 0$ equivale a $f(\mathbf{x}) = \mathbf{y}$ . O jacobiano em $\mathbf{x}$ é $Df(\mathbf{a})$ , invertível por hipótese. O TFI fornece $\mathbf{x} = g(\mathbf{y})$ de classe $C^k$ — essa é $f^{-1}$ .

Alternativamente (prova direta): a aplicação de contração $T(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - [Df(\mathbf{a})]^{-1}(f(\mathbf{x})-\mathbf{y})$ tem ponto fixo (Banach) numa bola pequena; esse ponto fixo é $f^{-1}(\mathbf{y})$ .

Regra da cadeia para inversas

De $f(f^{-1}(\mathbf{y})) = \mathbf{y}$ , derivando: $Df(f^{-1}(\mathbf{y}))\cdot D(f^{-1})(\mathbf{y}) = I_n$ $\Rightarrow\quad D(f^{-1})(\mathbf{y}) = [Df(f^{-1}(\mathbf{y}))]^{-1}$

Critério de jacobiano

Para $n=2$ : $\det Jf = f_x g_y - f_y g_x$ para $f = (f(x,y), g(x,y))$ .

Para $n=3$ : $\det Jf$ é o determinante $3\times 3$ — o mesmo que aparece na mudança de variáveis em integrais triplas.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Ex. 1 — Verificação e cálculo da inversa local

$f(x,y) = (e^x\cos y, e^x\sin y)$ em $\mathbf{a} = (0,0)$ .

$Jf = \begin{pmatrix}e^x\cos y & -e^x\sin y\\e^x\sin y & e^x\cos y\end{pmatrix}$ .

Em $(0,0)$ : $Jf = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ , $\det = 1\neq 0$ . TFInv aplica.

$D(f^{-1})(1,0) = [Jf(0,0)]^{-1} = I$ .

Interpretação: $f(x,y) = e^{x+iy}$ (função exponencial complexa), com $f^{-1}(u,v) = (\ln\sqrt{u^2+v^2}, \arctan(v/u))$ — o logaritmo complexo. Não inversível globalmente (periódica em $y$ ), mas localmente sim.

Exemplo— 2· Ex. 2 — Jacobiano esférico

Coordenadas esféricas $f(\rho,\phi,\theta) = (\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi)$ .

Calculado na L10 Workshop: $\det Jf = \rho^2\sin\phi$ .

Regiões de invertibilidade: $\rho\neq 0$ e $\phi\neq 0,\pi$ (excluindo os polos).

$D(f^{-1})$ : usando $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , $\phi = \arccos(z/\rho)$ , $\theta = \arctan(y/x)$ — estas são as funções inversas explícitas.

$(Jf)^{-1}$ : cada coluna é $\nabla\rho$ , $\nabla\phi$ , $\nabla\theta$ divididos pelos fatores de escala $h_\rho=1$ , $h_\phi=\rho$ , $h_\theta=\rho\sin\phi$ — os vetores unitários $\hat{\rho},\hat{\phi},\hat{\theta}$ da base esférica.

Para continuar

Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §7.5–7.7 — Wiley, 2ª ed.
Lima, E.L. — Análise no Espaço Rⁿ, §5 — IMPA, 3ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §4.3–4.5 — LTC, 5ª ed.
Marsden, J. & Tromba, A. — Vector Calculus, §3.4–3.5 — Freeman, 6ª ed.
Spivak, M. — Calculus on Manifolds, §2 — Benjamin/Cummings, 1965.

Lição 16 — Teorema da Função Inversa

Enunciado e consequências do Teorema da Função Inversa

Teorema da Função Inversa (TFInv)

Prova (esboço contratível)

Regra da cadeia para inversas

Critério de jacobiano

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Aplicação do TFInv

Bloco B — Mudança de coordenadas

Bloco C — Nível ITA/USP

Para continuar