v1 · padrão canônico

Lição 17 — Curvas Parametrizadas em R³ e Frenet-Serret

Curvas parametrizadas em R³: comprimento de arco, curvatura, torção, referenciais de Frenet-Serret e suas equações estruturais, com aplicações em trajetórias e dinâmica de fluidos.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 2 · USP MAT0216 · ITA MA-013

\kappa = \frac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^3};\quad \tau = \frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2};\quad \frac{d}{ds}\begin{pmatrix}\mathbf{T}\\\mathbf{N}\\\mathbf{B}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&-\tau&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{T}\\\mathbf{N}\\\mathbf{B}\end{pmatrix}

A curvatura $\kappa$ mede como a curva se dobra; a torção $\tau$ mede como ela sai do plano. As equações de Frenet-Serret descrevem a evolução do triedro $(\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B})$ ao longo da curva.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Curvas e referenciais de Frenet-Serret

Comprimento de arco

Para $\mathbf{r}: [a,b]\to\mathbb{R}^3$ de classe $C^1$ : $s(t) = \int_a^t\|\mathbf{r}'(u)\|\,du;\quad \|\mathbf{r}'(t)\| = \frac{ds}{dt}$

A reparametrização por comprimento de arco $\mathbf{r}(s)$ tem $\|\mathbf{r}'(s)\| = 1$ .

Triedro de Frenet-Serret

Para curva regular ( $\mathbf{r}'\neq 0$ ) e birregular ( $\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\neq 0$ ):

$\mathbf{T} = \frac{\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}'\|}\quad\text{(tangente unitário)}$

$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{T}'}{\|\mathbf{T}'\|} = \frac{d\mathbf{T}/ds}{\|d\mathbf{T}/ds\|}\quad\text{(normal principal)}$

$\mathbf{B} = \mathbf{T}\times\mathbf{N}\quad\text{(binormal)}$

Curvatura e torção

$\kappa = \left\|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\| = \frac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^3}$

$\tau = -\frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot\mathbf{N} = \frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2}$

Equações de Frenet-Serret

$\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa\mathbf{N};\quad \frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B};\quad \frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau\mathbf{N}$

Teorema Fundamental das Curvas

Dadas funções contínuas $\kappa(s)>0$ e $\tau(s)$ , existe única curva em $\mathbb{R}^3$ (a menos de movimento rígido) com essas curvatura e torção.

Exemplos resolvidos

Example— 2· Ex. 2 — Componentes da aceleração

$\mathbf{r}(t) = (t^2, 2t, t^3/3)$ . Componentes $a_T$ , $a_N$ em $t=1$ .

$\mathbf{v} = (2t,2,t^2)$ ; $v = \|\mathbf{v}\| = \sqrt{4t^2+4+t^4}$ . Em $t=1$ : $v = 3$ .

$\mathbf{a} = (2,0,2t)$ . Em $t=1$ : $\mathbf{a} = (2,0,2)$ .

$a_T = \dfrac{d}{dt}\|\mathbf{v}\|\bigg|_{t=1} = \dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|} = \dfrac{4+0+2}{3} = 2$ .

$a_N = \sqrt{\|\mathbf{a}\|^2 - a_T^2} = \sqrt{8-4} = 2$ .

Curvatura: $\kappa = a_N/v^2 = 2/9$ .

Example— 3· Ex. 3 — Curva com torção zero

$\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, 0)$ — círculo unitário no plano $xy$ .

$\mathbf{r}' = (-\sin t,\cos t,0)$ ; $\mathbf{r}'' = (-\cos t,-\sin t,0)$ ; $\mathbf{r}''' = (\sin t,-\cos t,0)$ .

$\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' = (0,0,\sin^2t+\cos^2t) = (0,0,1)$ .

$\kappa = 1/1^3 = 1$ (curvatura de círculo de raio 1). $\checkmark$

$(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}''' = (0,0,1)\cdot(\sin t,-\cos t,0) = 0$ .

$\tau = 0$ . Curva plana — torção zero. $\checkmark$

$\mathbf{T} = (-\sin t,\cos t,0)$ ; $\mathbf{B} = (0,0,1)$ ; $\mathbf{N} = \mathbf{B}\times\mathbf{T} = (-\cos t,-\sin t,0)$ (aponta para o centro).

To continue

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §13.3–13.4 — Cengage, 8ª ed.
Thomas, G.B. — Cálculo, vol. 2, §13.4–13.5 — Pearson, 14ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §3.13–3.15 — Wiley, 2ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §6.1–6.3 — LTC, 5ª ed.
Do Carmo, M.P. — Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, §1 — SBM, 2ª ed.