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Lição 18 — Superfícies Parametrizadas e Área de Superfície

Superfícies parametrizadas r(u,v): vetor normal, curvatura média e gaussiana, elemento de área, cálculo de área de superfícies de revolução e superfícies implícitas.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 2 · USP MAT0216 · ITA MA-013

\mathbf{n} = \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v;\quad dS = \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,du\,dv;\quad A = \iint_D\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,du\,dv

O vetor normal $\mathbf{n}$ é o produto vetorial dos vetores tangentes à superfície. O elemento de área $dS$ é a norma de $\mathbf{n}$ , e a área total é a integral dupla de $\|\mathbf{n}\|$ sobre o domínio de parametrização.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Superfícies e curvatura gaussiana

Superfície parametrizada regular

$\mathbf{r}: D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ é regular se $\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\neq\mathbf{0}$ em $D$ (vetores tangentes linearmente independentes).

Plano tangente em $\mathbf{r}(u_0,v_0)$ : span $\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\}$ .

Normal unitária: $\hat{\mathbf{n}} = \dfrac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|}$ .

Primeira forma fundamental (métrica)

$I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2;\quad E = \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_u,\;F = \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v,\;G = \mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_v$

$dS = \sqrt{EG-F^2}\,du\,dv = \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,du\,dv$ .

Segunda forma fundamental e curvatura

$II = L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2;\quad L = \mathbf{r}_{uu}\cdot\hat{\mathbf{n}},\;M = \mathbf{r}_{uv}\cdot\hat{\mathbf{n}},\;N = \mathbf{r}_{vv}\cdot\hat{\mathbf{n}}$

Curvatura gaussiana: $K = \dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$ (Teorema Egregium de Gauss: intrínseca!)

Curvatura média: $H = \dfrac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}$

Superfícies mínimas: $H = 0$ — minimizam área com contorno fixo.

Área de superfície implícita $z = f(x,y)$

$dS = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy;\quad A = \iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy$

Superfície de revolução

$\mathbf{r}(u,v) = (f(u)\cos v, f(u)\sin v, u)$ , $f(u) > 0$ :

$\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\| = f(u)\sqrt{1+f'(u)^2}$ .

$A = 2\pi\int_a^b f(u)\sqrt{1+f'(u)^2}\,du$ — fórmula de Pappus.

Exemplos resolvidos

Example— 3· Ex. 3 — Curvatura gaussiana do toro

Toro: $\mathbf{r}(u,v) = ((R+r\cos u)\cos v, (R+r\cos u)\sin v, r\sin u)$ .

$K = \dfrac{\cos u}{r(R+r\cos u)}$ .

Interpretação: na parte exterior do toro ( $\cos u > 0$ , $0 < u < \pi/2$ ou $3\pi/2 < u < 2\pi$ ): $K > 0$ (convexo).

Na parte interior ( $\cos u < 0$ , $\pi/2 < u < 3\pi/2$ ): $K < 0$ (côncavo).

Gauss-Bonnet: $\iint_T K\,dA = r\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos u}{r(R+r\cos u)}(R+r\cos u)\,du\,dv = 2\pi\int_0^{2\pi}\cos u\,du = 0$ .

Como o toro é compacto sem bordo: $\chi(\text{toro}) = 0$ . Verificado: $2\pi\cdot 0 = 0$ . $\checkmark$

To continue

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §16.6 — Cengage, 8ª ed.
Thomas, G.B. — Cálculo, vol. 2, §16.5 — Pearson, 14ª ed.
Guidorizzi, H.L. — Um Curso de Cálculo, vol. 2, §6.3–6.5 — LTC, 5ª ed.
Do Carmo, M.P. — Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, §3 — SBM, 2ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §11.3–11.6 — Wiley, 2ª ed.