Lição 19 — Séries de Taylor em Rⁿ e Formas Quadráticas

Taylor em Rⁿ — fórmula completa

Expansão de Taylor de ordem $k$

Para $f: U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ de classe $C^{k+1}$ numa vizinhança de $\mathbf{a}\in U$:

$f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) = \sum_{|\alpha|\leq k}\frac{D^\alpha f(\mathbf{a})}{\alpha!}\mathbf{h}^\alpha + R_k(\mathbf{h})$

onde $\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ é um multi-índice, $|\alpha| = \sum\alpha_i$, $\alpha! = \alpha_1!\cdots\alpha_n!$, $\mathbf{h}^\alpha = h_1^{\alpha_1}\cdots h_n^{\alpha_n}$.

Resto de Lagrange: $R_k(\mathbf{h}) = \displaystyle\sum_{|\alpha|=k+1}\frac{(k+1)D^\alpha f(\mathbf{a}+\theta\mathbf{h})}{\alpha!}\mathbf{h}^\alpha$ para algum $\theta\in(0,1)$.

Ordem 2 explícita

$f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{a}) + \sum_i f_{x_i}(\mathbf{a})h_i + \frac{1}{2}\sum_{i,j}f_{x_ix_j}(\mathbf{a})h_ih_j + O(\|\mathbf{h}\|^3)$

Em notação matricial: $f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T\mathbf{h} + \dfrac{1}{2}\mathbf{h}^T H_f(\mathbf{a})\mathbf{h} + O(\|\mathbf{h}\|^3)$.

Formas quadráticas

$Q(\mathbf{h}) = \mathbf{h}^T A\mathbf{h}$, $A$ simétrica. Classificação:

Cônicas via Taylor de ordem 2

Toda função $f\in C^2$ em $\mathbb{R}^2$ tem, próximo a um ponto crítico, a forma $f\approx c + Q(\mathbf{h})$, onde $Q$ é uma cônica — elipse (mínimo/máximo), hipérbole (sela) ou degenerada (inconclusivo).